關(guān)于排列組合的應(yīng)用問題，由于思考方法的偏差，往往導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤． 然而，一個(gè)更應(yīng)該值得注意的問題是，有時(shí)思考方法是錯(cuò)誤的，得出的結(jié)果卻巧合正確，這種隱蔽性的錯(cuò)誤，對學(xué)習(xí)更有危害．請看下面的問題！
    問題１：用１，２，３，４，５，６這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中首位數(shù)字大于末位數(shù)字，且３和４不在相鄰兩個(gè)數(shù)位的六位數(shù)共有多少個(gè)？
    分析與解答：
    分三步考慮． 
    第一步，首先將１，２，５，６排在四個(gè)位置（用方格□表示）上，有Ａ種排法
    △□△□△□△□△
    第二步，１，２，５，６排好之后產(chǎn)生５個(gè)空隙（用記號(hào)△表示），將３，４插入這５個(gè)空隙中，有Ａ種排法． 
    由分步計(jì)數(shù)原理可知，一共有Ａ·Ａ＝４８０種不同的排法． 
    第三步，將這４８０個(gè)數(shù)分為兩類（每個(gè)數(shù)與３，４都不相鄰）． 
    １． 首位數(shù)字大于末位數(shù)字；
    ２． 首位數(shù)字小于末位數(shù)字． 
    有一個(gè)首位數(shù)字大于末位數(shù)字的六位數(shù)，將首末兩個(gè)數(shù)字對調(diào)，得到一個(gè)首位數(shù)字小于末位數(shù)字的六位數(shù)；反之也對． 因此，符合條件的六位數(shù)共有＝２４０個(gè)． 
    上述解法正確嗎？從分析過程看，似乎每一步都有道理，找不出什么破綻，但仔細(xì)分析，思考方法確有錯(cuò)誤之處，錯(cuò)在哪里？
    有錯(cuò)在第三步的分析方法上．一個(gè)符合條件的六位數(shù)，對調(diào)首末兩個(gè)數(shù)字之后，未必能夠得到一個(gè)首位數(shù)字小于末位數(shù)字且３，４不相鄰的六位數(shù)． 例如，６３１５２４是一個(gè)符合條件的六位數(shù)，對調(diào)首位數(shù)字６和末位數(shù)字４，得六位數(shù)４３１５２６． 這個(gè)六位數(shù)４與３相鄰了，它不是３，４不相鄰的４８０個(gè)數(shù)中的一個(gè)． 因此，在３，４不相鄰的六位數(shù)中，首位數(shù)字大于末位數(shù)字與首位數(shù)字小于末位數(shù)字的六位數(shù)不能通過只對調(diào)首末兩個(gè)數(shù)字來實(shí)現(xiàn)一一對應(yīng)關(guān)系． 
    正確的解答應(yīng)該修改上述解法第三步的分析方法，有一個(gè)符合條件（首位數(shù)字大于末位數(shù)字且３，４不相鄰）的六位數(shù)，如６３１５２４，將這個(gè)六位數(shù)反序倒寫，可得到一個(gè)３，４不相鄰，首位數(shù)字小于末位數(shù)字的六位數(shù)４２５１３６；反之也對，因此，首位數(shù)字大于末位數(shù)字且３，４不相鄰的六位數(shù)，通過反序?qū)φ{(diào)，可以實(shí)現(xiàn)首位數(shù)字小于末位數(shù)字且３，４不相鄰的六位數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系．所以，符合條件的六位數(shù)共有＝２４０個(gè)． 
    問題２：把ｎ＋１本不同的書全部分給ｎ個(gè)人，每人至少得１本，共有多少種不同的分法？
    分析與解答：分兩步考慮．第一步，先從ｎ＋１本不同的書中任取ｎ本分給ｎ個(gè)人，有Ｃ·Ａ種分法． 
    第一步，將余下的１本書分給ｎ個(gè)人，有ｎ種分法，由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有ｎＣＡ＝ｎ（ｎ＋１）！種不同的分法． 
    這個(gè)解法對嗎？從分析過程看，沒什么問題． 下面我們來分析一下具體過程：
    將ｎ個(gè)人依次編號(hào)為１，２，３，…，ｎ，假定第一步第ｋ號(hào)人分得的書號(hào)為ｉｋ，對應(yīng)的分法依次為（１，ｉ１），（２，ｉ２），…，（ｋ－１，ｉｋ－１），（ｋ，ｉｋ），（ｋ＋１，ｉｋ＋１），…（ｎ，ｉｎ），其中，ｉ１，ｉ２，…，ｉｎ是１，２，３，…，ｎ的一個(gè)排列，記號(hào)（ｋ，ｉｋ）的第１個(gè)數(shù)碼表示人的編號(hào)，第２個(gè)數(shù)碼表示書號(hào)．
    第二步，將余下的一本書ｉｎ＋１分給第ｋ人，于是，得到一種符合條件的分法：
    （１，ｉ１），（２，ｉ２），…，（ｋ－１，ｉｋ－１），（ｋ，ｉｋ，ｉｎ＋１），（ｋ＋１，ｉｋ＋１），…，（ｎ，ｉｎ）．
    另一方面，第一步的分法為：（１，ｉ１），（２，ｉ２），…，（ｋ－１，ｉｋ－１），（ｋ，ｉｎ＋１），（ｋ＋１，ｉｋ＋１），…，（ｎ，ｉｎ）時(shí)，第二步，將余下的１本書ｉｋ分給第ｋ人，于是，所得到的分法為：
    （１，ｉ１），（２，ｉ２），…（ｋ－１，ｉｋ－１），（ｋ，ｉｎ＋１，ｉｋ），（ｋ＋１，ｋｋ＋１），…，（ｎ，ｉｎ）． 
    這種分法是ｎ（ｎ＋１）！種分法中的一種，然而，這種分法與第一種的分法完全相同． 這表明，按照上述解法所給的分法，的每一種分法都對應(yīng)著一種與它完全相同的分法，因此，這種解法對每一種符合條件的分法都重復(fù)計(jì)算了一次，故符合條件的分法應(yīng)該是種．
    這個(gè)問題的一般解法是：先將ｎ＋１本書分成ｎ堆，有Ｃ種分法，然后將這ｎ堆分給ｎ個(gè)人，有Ａ種分法，由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有Ｃ·Ａ＝ 種不同的分法． 
    一般地，關(guān)于分配的應(yīng)用問題，較好的方法是先分堆，再分給人，這樣計(jì)算既沒有重復(fù)，也不會(huì)遺漏．