習(xí)題二

1.買語文書30本，數(shù)學(xué)書24本共花83.4元.每本語文書比每本數(shù)學(xué)書貴0.44元.每本語文書和數(shù)學(xué)書的價(jià)格各是多少？
2.甲茶葉每千克132元，乙茶葉每千克96元，共買這兩種茶葉12千克.甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354元.問每種茶葉各買多少千克？
3.一輛卡車運(yùn)礦石，晴天每天可運(yùn)16次，雨天每天只能運(yùn)11次.一連運(yùn)了若干天，有晴天，也有雨天.其中雨天比晴天多3天，但運(yùn)的次數(shù)卻比晴天運(yùn)的次數(shù)少27次.問一連運(yùn)了多少天？
4.某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)共20道題，做對一題得5分，做錯(cuò)一題倒扣1分，不做得0分.小華得了76分.問小華做對了幾道題？
5.甲、乙二人射擊，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分.每人各射10發(fā)，共命中14發(fā).結(jié)算分?jǐn)?shù)時(shí)，甲比乙多10分.問甲、乙各中幾發(fā)？
6.甲、乙兩地相距12千米.小張從甲地到乙地，在停留半小時(shí)后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40分鐘后，又從甲地返回乙地.已知兩人同時(shí)分別從甲、乙兩地出發(fā)，經(jīng)過4小時(shí)后，他們在返回的途中相遇.如果小張速度比小王速度每小時(shí)多走1.5千米，求兩人的速度.
                  
                  
                  

巧算和與差

一天，小明對一些小朋友說：“請你們隨意說出2個(gè)數(shù)來，我會一下子算出它們的和減去它們的差的結(jié)果來！”
“真的嗎？”小光驚奇地問。
“那當(dāng)然，請出題吧！”小明自信地說。
于是，小光寫出了兩道題：
（348＋256）－（348—256）
（7564＋3125）－（7564－3125）
小光剛寫完第2題，小明就立刻說出兩題的得數(shù)分別是512、6250。大家一起算，得的結(jié)果跟小明的一樣。
小蘭想弄明白小明計(jì)算的奧秘，又說出下面4組數(shù)：47和23，400和278，120與80，16840與3020。結(jié)果小明總是很快就說出了答案。
這時(shí)，小明問小蘭：“你找出規(guī)律了嗎？”
“還沒找到。不過，我覺得關(guān)鍵在兩數(shù)中的較小數(shù)上�！毙√m回答。
“對！你再研究一下得數(shù)跟較小數(shù)的關(guān)系就會明白！”
“我知道了，得數(shù)是較小數(shù)的2倍！”小光興奮地說。
小明給大家解釋：當(dāng)我們從兩個(gè)數(shù)的和中減去這兩個(gè)數(shù)的差時(shí)，就是從兩個(gè)數(shù)的和中減去了較大數(shù)比較小數(shù)多的一部分，得到的結(jié)果是兩個(gè)較小數(shù)的和，也就是較小數(shù)的2倍。”

三只船運(yùn)貨

西方傳入我國學(xué)校里的第一本算術(shù)教科書是美國人狄考文編的《筆算數(shù)學(xué)》，這本書中有這樣一道題：
    甲、乙、丙三艘船共運(yùn)貨9400箱，甲船比乙船多運(yùn)300箱，丙船比乙船少運(yùn)200箱。求三艘船各運(yùn)多少箱貨？
    這道題如果思路不對的話，就很難抓住解題的關(guān)鍵。事實(shí)上，它代表著一類廣泛的問題，其共同特點(diǎn)就是有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量。
    思考時(shí)，一般先假設(shè)幾個(gè)未知量相等，或假定要求的一未知量是題里的某一已知量；然后按照題里的已知條件推算。所得結(jié)果常與題里對應(yīng)的已知量不符，再加以調(diào)整，即可得到正確的答案。
    因此，這道題就可以這樣來思考：根據(jù)已知甲船比乙船多運(yùn)30O箱，假設(shè)甲船同乙船運(yùn)的一樣多，那么甲船就要比原來少運(yùn)300箱，結(jié)果三船運(yùn)的總箱數(shù)就要減少300箱，變成（9400－300）箱。
    又根據(jù)丙船比乙船少運(yùn)200箱，假設(shè)丙船也同乙船運(yùn)的一樣多，那么丙船就要比原來多運(yùn)200箱，結(jié)果三船總箱數(shù)就要增加200箱，變成（9400－300＋200）箱。
    經(jīng)過這樣調(diào)整，三船運(yùn)的總箱數(shù)為（9400－300＋200）。根據(jù)假設(shè)可知，這正好是乙船所運(yùn)箱數(shù)的3倍，從而可求出動船運(yùn)的箱數(shù)。
    乙船運(yùn)的箱數(shù)知道了，甲、丙兩船運(yùn)的箱數(shù)馬上就可得到。

微軟招聘員工試題

1. 有7克、2克砝碼各一個(gè)，天平一架，如何只用這些物品三次將140克的鹽分成50克、90克各一份？
 
    砝碼稱重是常見的數(shù)學(xué)問題。要使稱的次數(shù)最少需要講究方法技巧。經(jīng)過思考按下述步驟操作：（1） 把2克重的砝 放在天平左端，分鹽于天平兩端直到平衡，此時(shí)，左端有鹽69克，右端有鹽71克。（2） 取下天平左端的2克砝碼換上7克重的砝碼， 端重（69+7）76克，右端仍重71克，從左端取出5克鹽后，天平兩端平衡，這時(shí)左端 余64克鹽。 在取下天平兩端物品。（3） 用剛才稱出的5克鹽當(dāng)作"砝碼"，與2克、7克砝碼合成14克砝碼。從64克鹽 取出14克，恰好剩下50克鹽。則其余鹽的重量就是90克。
 
    2. 有兩個(gè)房間，其中一間房里有三盞燈，另一間房里有控制這三盞燈的開關(guān)。這兩間房是相對獨(dú)立、相對封閉的，沒有空 上的直接聯(lián)系；三盞燈與三個(gè)開關(guān)也沒有順序上的必然聯(lián)系�，F(xiàn)在只允許你分別進(jìn)入這兩個(gè)房間一次，然后判斷三盞燈分別是由哪個(gè)開關(guān)控制的
 
    對于這個(gè)問題，我們更多 慮的可能是燈與線之間怎樣連結(jié)及如何開關(guān)等，這樣就步入了解題的歧途。利用燈亮的發(fā)熱特性操作如下：（1） 先走進(jìn)有開關(guān)的房間，將三個(gè)開關(guān)編號為A、B、C。（2） 將開關(guān)A打開數(shù)分鐘后關(guān)閉，再打開B。（3） 立即進(jìn)入有燈的房間，此時(shí)亮著的燈則由開關(guān)B控制。用手摸另外兩盞燈：發(fā)熱的由開關(guān)A控制，不熱的由開關(guān)C控制。
 
    3. U2合唱團(tuán)趕往演唱會場，途中必需經(jīng)過一座橋，天色很暗，而他們只有一只手電筒。一次 時(shí)最多 以有兩人一起過橋，而過橋的時(shí)候必須持有手電筒，所以就得有人把手電筒帶來帶去，來回于橋的兩端。手電筒是不能用丟的方式來傳遞的。四個(gè)人的步行速度各不同，若兩人同行則以較慢者的速度為準(zhǔn)。Bono需花1分鐘過橋，Edge需花2分鐘過橋，Adam需花5分鐘過橋，Larry需花10分鐘過橋，他們?nèi)绾卧?7 鐘內(nèi)過橋？
 
    此題屬于策略優(yōu)化問題。從題中我們知道，同行兩人的過橋時(shí)間應(yīng)該盡量接近，且來回傳遞電筒者應(yīng)盡量選用速度快的人。根據(jù)以上分析，作如下安排：（1） Bono和Edge兩人先行過橋后，Bono帶手電 回，共用時(shí)3分鐘。 2） Adam和Larry兩人同時(shí)過橋，Edge帶手電返回。共用時(shí)12分鐘。（3） Bono和Edge兩人再次過橋，用時(shí)2分鐘。至此，四人全部過橋，一共用時(shí)3+12+2=17（分鐘）。
 
    4. 有一列火車以每小時(shí)140千米的速度離開洛杉磯直奔紐約，同時(shí)，另一列火車以每小時(shí)160千米的速度從紐約開往洛杉磯。如果有一只鳥以每小時(shí)30千米的速度和兩列 車同時(shí)啟動，從洛杉磯出發(fā)，碰到另一列車后返回，往返在兩列火車間，直到兩列火車相遇為止。已知洛杉磯到紐約的鐵路長4500千米，請問，這只小鳥飛行了多遠(yuǎn)路程？
 
    小鳥在兩列火車之間往返飛行，思維也很容易隨著"跑"起來。如果我們試圖算出那些越來越短的路程，問題就會十分復(fù)雜。其實(shí)大可不必，因?yàn)檫@只小鳥一直在兩列火車間一刻不停地飛，所以，火車的相遇時(shí)間就是小鳥的飛行時(shí)間。這樣，小鳥的飛行路程為：30×［4500÷（140+160）］=450（千米）。
 
    5. 對一批編號為1-100，全部開關(guān)朝上（開）的燈進(jìn)行以下操作：凡是1的倍數(shù)反方向撥一次開關(guān)；2的倍數(shù) 方向又撥一次開關(guān)；3的倍數(shù)反方向又撥一次開關(guān)……問：最后為關(guān)熄狀態(tài)的燈的編 是哪些？
 
    若實(shí)際操作求解會相當(dāng)繁瑣。我們知道，就某個(gè)亮著的燈而言，如果撥其開關(guān)的次數(shù)是奇數(shù)次，那么，結(jié)果它一定是關(guān)著的。根據(jù)題意可知，號碼為N的燈，撥開關(guān)的次數(shù)等于N的約數(shù)的個(gè)數(shù)，約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則N一定是平方數(shù)。因?yàn)?0=100，可知100以內(nèi)共有10個(gè)平方數(shù)，即，最后關(guān)熄狀態(tài)的燈共有10盞，編號為1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
 
    6. 一個(gè)大院子里住了50戶人家，每家都養(yǎng)了一條狗。有一天他們接到通知說院子里有狗生病了，并要求 所有主人在知道自家狗生病的當(dāng)天應(yīng)立即把狗槍殺掉。所有主人和他們的狗都不得離開自家的房子，主人與主人之間也不準(zhǔn)進(jìn)行任何溝通，他們能看到其他49條狗，且能準(zhǔn)確判斷是否生病，但看不到自家的狗。院中第一天、第二天都沒有槍聲，第三天傳出了一陣槍聲，問有多少條病狗被槍殺。
這是一道邏輯推理趣題。分析如下：（1） 如果50條狗中只有1條病狗。比如說張家的狗有病，那么，張看到的另49條狗 是正常的，從而判斷自家的狗一定病了，張就會把自家的狗槍殺掉，但第1天沒有槍聲，說明病狗多于1條。（2  如果50條狗中只有2條病狗，比如說王家和李家的狗是病狗，那么，除了王和李以外，其余的人都看到了2條病狗，而王和李只能看到1條病狗和48條正常的狗，已經(jīng)知道病狗數(shù)量多于1，所以王和李可以判斷出自家的狗一定是病狗，按照規(guī)定應(yīng)該槍殺，但第2天沒有槍聲，說明病狗又多于2條。（3） 如果有4條或4條以上病狗，那么每個(gè)病狗的主人至少看到了3條病狗，由于病狗數(shù)量是不是3條無法確定，故每個(gè)人也就不能判斷自家的狗是否有病，第3天也就不會有槍聲，這與已知矛盾 綜上可以判定，病狗的數(shù)量是3條

“和倍問題”怎樣思考？

【典型問題】
　　1. 四年級有4個(gè)班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問這四個(gè)班共有多少人？
　　解答：用131+134=265，這是1個(gè)甲、丁和2個(gè)乙、丙的總和，因?yàn)橐摇⒈麅砂嗟目側(cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，所以用265-1=264就剛好是3個(gè)乙、丙的和，264÷3=88，就是說乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四個(gè)班的和是88+89=177人.
　　2. 有四個(gè)數(shù)，其中每三個(gè)數(shù)的和分別是45，46，49，52，那么這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)是多少？
　　解答：大家想想，我如果把4個(gè)數(shù)全加起來是什么？實(shí)際上是每個(gè)數(shù)都加了3遍！大家一定要記住這種思想�。�45+46+49+52）÷3=64就是這四個(gè)數(shù)的和，題目要求最小的數(shù)，我就用64減去52（某三個(gè)數(shù)和最大的）就是最小的數(shù)，等于12.
　　3. 在一個(gè)兩位數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)字，就變成一個(gè)三位數(shù)。例如：在72中間插入數(shù)字6，就變成了762。有些兩位數(shù)中間插入數(shù)字后所得到的三位數(shù)是原來兩位數(shù)的9倍，求出所有這樣的兩位數(shù)。
　　解答：對于這個(gè)題來說，首先要判斷個(gè)位是多少，這個(gè)數(shù)的個(gè)位乘以9以后的個(gè)位還等于原來的個(gè)位，說明個(gè)位只能是0或5！先看0，很快發(fā)現(xiàn)不行，因?yàn)?0×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是幾十乘以9，結(jié)果百位總比十位小，所以各位只能是5。略作計(jì)算，不難發(fā)現(xiàn)：15，25，35，45是滿足要求的數(shù)
　　你會解答下面的題目嗎？
　　1. 某班買來單價(jià)為0.5元的練習(xí)本若干，如果將這些練習(xí)本只給女生，平均每人可得15本；如果將這些練習(xí)本只給男生，平均每人可得10本。那么，將這些練習(xí)本平均分給全班同學(xué)，每人應(yīng)付多少錢?
　　2. 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒，那么平均分給三群猴子，每只可得多少粒？

“還原問題”怎樣思考？

【典型問題】
　　1. 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，則這個(gè)數(shù)是多少？
　　解答：（6×6+6）÷6-6=1，這個(gè)數(shù)是1.
　　2.有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時(shí)哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？
　　解答：先算出最后各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然后來還原：1. 哥哥還給弟弟5塊：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2. 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應(yīng)該是9+9=18，弟弟是17-9=8；3. 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是8+8=16塊.
　　3. 甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果乙的錢最多；接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果丙的錢最多；最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果三人錢數(shù)一樣多了。如果他們?nèi)�人共�?1元，那么三人原來的錢分別是多少元？
　　解答：三人最后一樣多，所以都是81÷3=27元，然后我們開始還原：1. 甲和乙把錢還給丙：每人增加2倍，就應(yīng)該是原來的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2. 甲和丙把錢還給乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3. 最后是乙和丙把錢還給甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.
　　你會解答下面的題目嗎？
　　1. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍�，F(xiàn)在三人的糖豆一樣多。如果開始時(shí)甲有51粒糖豆，那么乙最開始有多少粒糖豆？
　　2. 有一筐蘋果，把它們?nèi)�等分后還剩2個(gè)蘋果；取出其中兩份，將它們?nèi)�等分后還剩兩個(gè)；然后再取出其中兩份，又將這兩份三等分后還剩2個(gè)。問：這筐蘋果至少有幾個(gè)？

巧用工程法解題

有一輛自行車，前輪和后輪都是新的，并且可以互換，輪胎在前輪位置可以行駛5000千米，在后輪位置可以行駛3000千米，問使用兩個(gè)新輪胎，這輛自行車最多可以行多遠(yuǎn)？
    如果我們考慮在中途某個(gè)時(shí)刻將車輪調(diào)換，則非常麻煩。如果將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成工程問題：把一個(gè)車輪的使用壽命看作單位“1”，則每行1千米，前輪被使用了1/5000，后輪被使用了1/3000，這樣用兩個(gè)輪子的壽命2÷(1/5000+1/3000)=3750(千米)，很容易就求出使用這兩個(gè)輪子最多可以行3750千米，就不用考慮何時(shí)調(diào)換輪子這個(gè)惱人的問題。

時(shí)間問題轉(zhuǎn)化為行程問題

星期六，某同學(xué)離家外出時(shí)看了看鐘，2個(gè)多小時(shí)后回到家又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針恰好互換位置。請計(jì)算，該同學(xué)離家外出多少小時(shí)？
    這看上去是個(gè)時(shí)間問題，但如果我們僅僅局限于鐘面上的時(shí)間問題去思考，很難找到解題思路�？梢詫⑦@個(gè)問題轉(zhuǎn)化成行程問題，這樣想：在這兩個(gè)多小時(shí)中，分鐘轉(zhuǎn)兩圈多(紅線表示)，時(shí)針走了兩個(gè)多大格(綠線表示)，兩針交換了位置，如下圖，兩針這段時(shí)間里正好走了三圈，相當(dāng)于這段時(shí)間內(nèi)時(shí)針和分針合走了三圈，這樣就將鐘面的時(shí)間問題轉(zhuǎn)化成了行程中的相遇問題。
    用總路程3(3圈)除以速度和(1+1/12)【想：分針1小時(shí)走1圈，時(shí)間1小時(shí)走1大格，即1/12】，列式為3÷(1+1/12)=2又13分之10(小時(shí))。
 

一筆糊涂帳

一個(gè)男子到一家手杖店去買了一根30元的手杖，付出一張50元的鈔票。店主找不出零錢，就到隔壁小店去競零票。零票兌來，付給顧客20元的找頭，顧客就離去了。隔了一會，隔壁店主慌張地過來說，那張50元的鈔票是偽鈔，手杖店的店主不得不賠了50元。事后，店主覺得很傷心。他算了一下找給顧客20元，又賠給隔壁的店主50元，一共損失了70元。但又一想，顧客只占了50元的便宜，隔壁店主沒有損失，也沒有占便宜。這相差的20元咋回事呢？
    其實(shí)，當(dāng)手杖店主與隔壁小店沒有發(fā)生經(jīng)濟(jì)往來。手杖店主與顧客的經(jīng)濟(jì)往來是，顧客給小店50元偽鈔，而小店給顧客一根手杖（30元）和20元找頭，計(jì)50元。所以，手杖店主損失50元，而不是70元。

巧用假設(shè)法
同學(xué)們，我們在學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘、除法和倒數(shù)的知識后，會遇到這樣的問題：甲的2/5和乙的3/4相等，求甲與乙的比是什么？這樣的問題不少同學(xué)覺得很難下手，實(shí)際上只要用假設(shè)法，首先列出等式：甲×2/5=乙×3/4，然后假設(shè)等式的結(jié)果都是1，利用倒數(shù)的知識，可知甲是5/2，乙是4/3，則可求出甲與乙的比是15∶8。
    又如，“有兩根同樣長的繩子(長于1米)，第一根剪去1/2米，第二根剪去1/2，剩下的相比較，哪一根長？”這樣的問題用假設(shè)法解決起來也很容易，設(shè)這兩根分別長10米，第一根還剩9.5米，第二根還剩5米，很容易知道第一根剩下的長。同學(xué)們，你還能假設(shè)其他數(shù)來解決這個(gè)問題嗎？如果兩根繩子的長度都等于1米或都小于1米，結(jié)果又會如何呢？請你們用假設(shè)法來解決這兩個(gè)問題。

《換個(gè)角度、整體思考》

題目：一次考試共有五道試題，做對第（原題沒有“第”字）1、2、3、4、5題的分別占考試人數(shù)的84%、88%、72%、80%、56%，如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？
    解法：假設(shè)這次考試有100人參加，那么五題分別做對的人數(shù)為84、88、72、80、56人。全班共做對84+88+72+80+56=380（題）。要求及格率最少，也就是讓不及格人盡量的多，即僅做對兩題的人盡量的多；要讓及格的人盡量的少，也就是說共做對5題和共做對4題的人要盡量的多。我們可以先假設(shè)所有人都只做對兩題，那么共做對100×2=200（題）。由于共做對5題的最多有56人，他們一共多做了56×3=168（題），這時(shí)還剩下380－（200+168）=12（題）。因?yàn)樽鰧?題的人要盡量的多，所以每2題分給一個(gè)人，可以分給12÷2=6（人），即最多6個(gè)人做對4題。加上做對5題的56人，那么及格的人最少有56+6=62（人），也就是及格率至少為62%。