【典型問題】
1. 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，則這個(gè)數(shù)是多少？
  解答：（6×6+6）÷6-6=1，這個(gè)數(shù)是1.
2. 兩個(gè)兩位數(shù)相加，其中一個(gè)加數(shù)是73，另一個(gè)加數(shù)不知道，只知道另一個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字增加5，個(gè)位數(shù)字增加1，那么求得的和的后兩位數(shù)字是72，問另一個(gè)加數(shù)原來是多少？
  解答：和的后兩位數(shù)字是72，說明另一個(gè)加數(shù)變成了99，所以原來的加數(shù)是99-51=48.
3. 有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時(shí)哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？
  解答：先算出最后各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然后來還原：1. 哥哥還給弟弟5塊：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2. 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應(yīng)該是9+9=18，弟弟是17-9=8；3. 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是8+8=16塊.
4. 甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果乙的錢最多；接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果丙的錢最多；最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果三人錢數(shù)一樣多了。如果他們?nèi)�人共�?1元，那么三人原來的錢分別是多少元？
  解答：三人最后一樣多，所以都是81÷3=27元，然后我們開始還原：1. 甲和乙把錢還給丙：每人增加2倍，就應(yīng)該是原來的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2. 甲和丙把錢還給乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3. 最后是乙和丙把錢還給甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.
5. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍。現(xiàn)在三人的糖豆一樣多。如果開始時(shí)甲有51粒糖豆，那么乙最開始有多少粒糖豆？
  解答：先假設(shè)后來三個(gè)人都是4份，還原后得到甲、乙、丙分別是3份，5份，4份，實(shí)際上甲原來有51粒，51÷3=17，那么我們可以把1份看成17粒，所以乙最開始有糖豆17×5=85粒.
6. 有一筐蘋果，把它們?nèi)�等分后還剩2個(gè)蘋果；取出其中兩份，將它們?nèi)�等分后還剩兩個(gè)；然后再取出其中兩份，又將這兩份三等分后還剩2個(gè)。問：這筐蘋果至少有幾個(gè)？
  解答：如果最后的1份只有1個(gè)的話，我們很快就可以發(fā)現(xiàn)前面的11份就是（1×3+2）÷2=2.5個(gè)，這是不可能的，所以最后的那一份至少是2個(gè)，那么這筐蘋果原來至少有：（2×3+2）÷2×3+2=23個(gè).
7. 今年父親的年齡是兒子的5倍，15年后，父親的年齡是兒子年齡的2倍，問：現(xiàn)在父子的年齡各是多少歲？
  解答：今年父子的年齡差是兒子的5-1=4倍，15年后父子的年齡差是兒子的2-1=1倍，這說明在過了15年后，兒子的年齡是現(xiàn)在的四倍，根據(jù)差倍問題的公式可以計(jì)算出兒子今年的年齡是15÷（4-1）=5歲，父親今年是5×5=25歲.
8. 有老師和甲乙丙三個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在老師的年齡剛好是三個(gè)學(xué)生的年齡和；9年后，老師年齡為甲、乙兩個(gè)學(xué)生的年齡和；又3年后，老師年齡為甲、丙兩個(gè)學(xué)生的年齡和；再3年后，老師年齡為乙、丙兩個(gè)學(xué)生的年齡和。求現(xiàn)在各人的年齡。
  解答：老師=甲+乙+丙，老師+9=甲+9+乙+9，比較一下這兩個(gè)條件，很快得到丙的年齡是9歲；同理可以得到乙是9+3=12歲，甲是9+3+3=15歲，老師是9+12+15=36歲.
9. 全家4口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲。四年前他們?nèi)�家的年齡和為58歲，而現(xiàn)在是73歲。問：現(xiàn)在各人的年齡是多少？
  解答：73-58=15≠4×4，我們知道四個(gè)人四年應(yīng)該增長了4×4=16歲，但實(shí)際上只增長了15歲，為什么呢？是因?yàn)樵?年前，弟弟還沒有出生，那么弟弟今年應(yīng)該是幾歲呢？我們可以這樣想：父親、母親、姐姐三個(gè)人4年增長了12歲，15-12=3，3就是弟弟的年齡！那么很快能得到姐姐是3+2=5歲，父母今年的年齡和是73-3-5=65歲，根據(jù)和差問題，就可以得到父親是（65+3）÷2=34歲，母親是65-34=31歲.
10. 學(xué)生問老師多少歲，老師說：“當(dāng)我象你這么大時(shí)，你剛3歲；當(dāng)你象我這么大時(shí)，我已經(jīng)39歲了�！鼻罄蠋熍c學(xué)生的年齡。
  解答：老師的這句話表示3，學(xué)生年齡，老師年齡，39這4個(gè)數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，即學(xué)生年齡-3=老師年齡－學(xué)生年齡=39-老師年齡，我們可以先求出這個(gè)差是多少：（39-3）÷3=12，所以學(xué)生年齡是3+12=15歲，老師年齡是15+12=27歲.
11. 哥哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當(dāng)年年齡的3倍，哥哥當(dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲。問：哥哥現(xiàn)在多少歲？
  解答：假設(shè)弟弟當(dāng)年年齡是1份，那么哥哥現(xiàn)在的年齡就是3份，因?yàn)楦绺绠?dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，因?yàn)榈艿墚?dāng)年年齡，弟弟現(xiàn)在年齡（=哥哥當(dāng)年年齡），哥哥現(xiàn)在年齡這三個(gè)數(shù)是等差的，所以弟弟現(xiàn)在年齡（=哥哥當(dāng)年年齡）就剛好是2份，那么兄弟現(xiàn)在的年齡和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥現(xiàn)在是6×3=18歲.
12. 梁老師問陳老師有多少子女，她說：“現(xiàn)在我和愛人的年齡和是子女年齡和的6倍；兩年前，我們的年齡和是子女年齡和的10倍；六年后，我們的年齡和是子女年齡和的3倍�！眴栮惱蠋熡卸嗌僮优�。
  解答：2年前，年齡差是子女年齡和的10-1=9倍；今年，年齡差是子女年齡和的6-1=5倍；6年后，年齡差是子女年齡和的3-1=2倍。這個(gè)時(shí)候可以看到這個(gè)題中的年齡差不是一定的，否則年齡差是9，5，2倍數(shù)，至少是90，這是不合常理的，也就是說子女個(gè)數(shù)不會(huì)是2個(gè)。如果這個(gè)題目不用方程的話，我想最好的方法就是先假設(shè)陳老師有1個(gè)子女，很快就會(huì)得到矛盾，最后可以算出陳老師是3個(gè)子女。本題推薦使用方程求解！
13. 今年是1996年。父母的年齡和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年后，父的年齡是弟的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍。那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)是公元哪一年？
  解答：四年后，父母的年齡和是78+8=86歲，兄弟的年齡和是17+8=25歲，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×（弟+兄）+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11歲，兄是25-11=14歲，父是11×4=44歲，母是14×3=42歲（以上都是4年后的年齡，即公元2000年），很顯然再過1年后父親45歲，兄是15歲，父親是哥哥年齡的3倍，所以答案就是公元2001年.
14. 甲、乙、丙三人現(xiàn)在歲數(shù)的和是113歲，當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時(shí)，丙是38歲，當(dāng)乙的歲數(shù)是丙的歲數(shù)的一半時(shí)，甲是17歲，那么乙現(xiàn)在是多少歲？
  解答：假設(shè)當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時(shí)，甲是a歲，乙就是2×a歲，丙38歲；當(dāng)甲17歲的時(shí)候，注意到甲乙的年齡差不變，都是a，所以乙是17+a歲，那么丙是乙的2倍，就是2×（17+a），再根據(jù)甲丙的年齡差可以得到：38-a=2×（17+a）-17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7歲，乙14歲，丙38歲，和是7+14+38=59歲，（113-59）÷3=18，再過18年后，三人年齡和是113歲，所以乙今年的年齡是14+18=32歲.
15. 今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍。幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍。又過幾年以后，祖父的年齡將是小明年齡的4倍。求：祖父今年是多少歲？
  解答：觀察年齡差：今年的年齡差是小明年齡的5倍；幾年后的年齡差是小明當(dāng)時(shí)年齡的4倍；又過幾年以后的年齡差是小明年齡的3倍，所以年齡差是5，4，3的倍數(shù)，很快就能得到年齡差應(yīng)該是60（當(dāng)然不可能是120，180等等），今年小明的年齡是：60÷（6-1）=12歲，那么祖父就是12+60=72歲.

另類題型

小明爸爸讓他將3個(gè)酒瓶賣5角錢. 結(jié)果小明分別賣給3個(gè)人每個(gè)2角.得了6角.爸爸讓他把多的錢退還.小明路上買了4分錢的冰棒.剩的6分剛好退還3人每人2分.也就是說3人每人是1角8.共計(jì)5角4. 加買冰棒的4分.共計(jì)5角8.還有2分錢跑哪去了?
3人每人是1角8.共計(jì)5角4,"加買冰棒的4分"是沒有道理的。
應(yīng)該減去買冰棒的4分，剛好是他們買酒瓶的錢。

拉面里的數(shù)學(xué)

同學(xué)們，你們一定吃過拉面（也叫抻面）吧。你在品嘗這來自大西北的風(fēng)味佳肴時(shí)，你想過這細(xì)長的面條用隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)嗎？
     假設(shè)我們用25O克和好的面。
     光把它拉長到1米，這時(shí)面的長度是1米：
     ——1×1＝1（第1次）
     然后對(duì)折，再把它拉長到1米，這時(shí)面的長度是2米：
     ——1×2＝2（第2次）
     然后再對(duì)折，再把它拉長到1米，這時(shí)面的長度是4米：
     ——2×2＝4（第3次）
     然后再對(duì)拆，再把它拉長到1米，這時(shí)面的長度是8米：
     ——4×2＝8（第4次）
     然后再對(duì)折，再把它拉長到1米，這時(shí)面的長度是131O72米。
     ——65636×2＝131O72（第18次）
     也就是說，這25O克面對(duì)折18次，它的長度約有131千米，相當(dāng)于北京到天津的路程，一般的汽車也要行駛2個(gè)小時(shí)呢。
     當(dāng)你到飯館里吃拉面時(shí)，一大碗拉面大約25O克，你可以看到師傅拉多少次，就可以估算出這一碗拉面的長度了。
     有一位拉面大王，用1000克面拉出了大約1100千米長的面條，這相當(dāng)于12個(gè)珠穆朗瑪峰的高度，面條幾乎像頭發(fā)絲那么細(xì)，你知道大約拉了多少次嗎？（假設(shè)每次拉的長度為11O米。）

植樹問題

綠化工程是造福子孫后代的大事。確定在一定條件下栽樹、種花的棵數(shù)是最簡單、最基本的“植樹問題”。還有許多應(yīng)用題可以化為“植樹問題”來解，或借助解“植樹問題”的思考方法來解。
先介紹四類最簡單、最基本的植樹問題。
為使其更直觀，我們用圖示法來說明。樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題。
顯然，只有下面四種情形：
(1)非封閉線的兩端都有“點(diǎn)”時(shí)，
“點(diǎn)數(shù)”＝“段數(shù)”＋1。
 
 
(2)非封閉線只有一端有“點(diǎn)”時(shí)，
“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。
 
(3)非封閉線的兩端都沒有“點(diǎn)”時(shí)，
“點(diǎn)數(shù)”＝“段數(shù)”-1。
 
(4)封閉線上，“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。
 
最簡單、最基本的植樹問題只有這四類情形。
例如，一條河堤長420米，從頭到尾每隔3米栽一棵樹，要栽多少棵樹？這是第(1)種情形，所以要栽樹420÷3＋1＝141(棵)。
又如，肖林家門口到公路邊有一條小路，長40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？由于門的一端不能栽樹，公路邊要栽樹，所以，屬于第(2)種情形，要栽樹40÷2＝20(棵)。
再如，兩座樓房之間相距30米，每隔2米栽一棵樹，一直行能栽多少棵樹？因緊挨樓房的墻根不能栽樹，所以，屬于第(3)種情形，能栽樹30÷2-1＝14(棵)。
再例如，一個(gè)圓形水池的圍臺(tái)圈長60米。如果在此臺(tái)圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？這屬于第(4)種情形，共能放花60÷3＝20(盆)。
許多應(yīng)用題都可以借助或歸結(jié)為上述植樹問題求解。
例1在一段路邊每隔50米埋設(shè)一根路燈桿，包括這段路兩端埋設(shè)的路燈桿，共埋設(shè)了10根。這段路長多少米？
解：這是第(1)種情形，所以，“段數(shù)”＝10－1＝9。這段路長為50×(10-1)＝450(米)。
答：這段路長450米。
例2小明要到高層建筑的11層，他走到5層用了100秒，照此速度計(jì)算，他還需走多少秒？
分析：因?yàn)?層不用走樓梯，走到5層走了4段樓梯，由此可求出走每段樓梯用100÷(5－1)＝25(秒)。走到11層要走10段樓梯，還要走6段樓梯，所以還需
25×6＝150(秒)。
解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。
答：還需150秒。
例3一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊(duì)共排列了多長？如果車隊(duì)每秒行駛2米，那么這列車隊(duì)要通過535米長的檢閱場(chǎng)地，需要多少時(shí)間？
解：車隊(duì)間隔共有
30-1＝29(個(gè))，
每個(gè)間隔5米，所以，間隔的總長為
(30-1)×5＝145(米)，
而車身的總長為30×4＝120(米)，故這列車隊(duì)的總長為
(30-1)×5+30×4＝265(米)。
由于車隊(duì)要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，車隊(duì)通過檢閱場(chǎng)地需要
(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒。
答：這列車隊(duì)共長265米，通過檢閱場(chǎng)地需要6分40秒。
例4下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形。它的長度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？
 
解：如上圖所示。關(guān)鍵是求出重疊的“環(huán)扣”數(shù)(每個(gè)長6毫米)。根據(jù)植樹問題的第(3)種情形知，五個(gè)連在一起的“環(huán)扣”數(shù)為5-1＝4(個(gè))，所以重疊部分的長為
6×(5-1)＝24(毫米)，
又4厘米=40毫米，所以五個(gè)鐵環(huán)連在一起長
40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。
同理，十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為
40×10-6×(10-1)=346(毫米)。
答：五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為176毫米。十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為346毫米。
例5父子倆一起攀登一個(gè)有300個(gè)臺(tái)階的山坡，父親每步上3個(gè)臺(tái)階，兒子每步上2個(gè)臺(tái)階。從起點(diǎn)處開始，父子倆走完這段路共踏了多少個(gè)臺(tái)階？(重復(fù)踏的臺(tái)階只算一個(gè))。
解：因?yàn)閮啥说呐_(tái)階只有頂?shù)呐_(tái)階被踏過，根據(jù)已知條件，兒子踏過的臺(tái)階數(shù)為
300÷2＝150(個(gè))，
父親踏過的臺(tái)階數(shù)為300÷3＝100(個(gè))。
由于2×3=6，所以父子倆每6個(gè)臺(tái)階要共同踏一個(gè)臺(tái)階，共重復(fù)踏了300÷6＝50(個(gè))。所以父子倆共踏了臺(tái)階
150＋100-50＝200(個(gè))。
答：父子倆共踏了200個(gè)臺(tái)階。

巧求周長
 
我們知道：
 
這兩個(gè)計(jì)算公式看起來十分簡單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長問題。這是因?yàn)橹苯嵌噙呅慰偪梢苑指畛扇舾蓚�(gè)正方形或長方形。
例如，下面的圖形都可以分割成若干個(gè)正方形或長方形，當(dāng)然分割的方法不是唯一的。
 
由此，可以演變出許多只涉及正方形、長方形周長計(jì)算公式的題目。
例1一個(gè)苗圃園(如左下圖)，周邊和中間有一些路供人行走(圖中線段表示“路”)，幾個(gè)小朋友在里面觀賞時(shí)發(fā)現(xiàn)：從A處出發(fā)，在速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個(gè)人分頭走不同的路線，總會(huì)同時(shí)達(dá)到B處。你知道其中的道理嗎？
 
分析與解：如右上圖所示，將各個(gè)交點(diǎn)標(biāo)上字母。由A處到B處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線：
(1)A→C→D→E→B；
(2)A→C→O→E→B；
(3)A→C→O→F→B；
(4)A→H→G→F→B；
(5)A→H→O→E→B；
(6)A→H→O→F→B。
因?yàn)锳→C與H→O，G→F的路程一樣長，所以可以把它們都換成A→C；同理，將O→E，F(xiàn)→B都換成C→D；將A→H，C→O都換成D→E；將H→G，O→F都換成E→B。這樣換過之后，就得到六條路線的長度都與第(1)條路線相同，而第(1)條路線的長“AD+DB”就是長方形的“長+寬”，也就是說，每條路線的長度都是“長+寬”。路程、速度都相同，當(dāng)然到達(dá)B處的時(shí)間就相同了。
例2 計(jì)算下列圖形的周長(單位：厘米)。
 
解：(1)將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動(dòng)到虛線處(見左下圖)，這樣正好移補(bǔ)成一個(gè)正方形，所以它的周長為25×4=100(厘米)。
 
(2)與(1)類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長方形，周長為
(10＋15)×2=50(厘米)。
例3 求下面兩個(gè)圖形的周長(單位：厘米)。
 
 
解：(1)與例2類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(15＋10＋15)厘米、寬(12＋20)厘米的長方形，所以周長為
(15＋10＋15)×2＋(12＋20)×2＝144(厘米)。
(2)設(shè)想先把長20厘米的線段向上平移到兩條長15厘米的線段中間，構(gòu)成一個(gè)長60厘米，寬(15＋20＋15)厘米的長方形，此時(shí)，還有兩條長35厘米的豎線段。所以周長為
60×2＋(15＋20＋15)×2＋35×2＝290(厘米)。
例4在一張紙上畫出由四個(gè)邊長為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線段只算畫一次)。顯然，這個(gè)圖形有多種多樣的畫法，下列各圖是其中的一部分畫法。在所有的這些畫法中，
(1)哪種畫法畫出的線段總長最長？有多長？
(2)哪種畫法畫出的線段總長最短？有多長？
 
分析與解：畫的線段重疊部分越少，畫的線段就越長。反之，重疊部分越多，畫的線段就越短。因此，類似圖1那樣畫的線條最長，共畫了
3×4×4=48(厘米)。
右圖畫的線條最短，共畫了
(3＋3)×6=36(厘米)。
 
 
例5下圖是一個(gè)方形螺線。已知兩相鄰平行線之間的距離均為1厘米，求螺線的總長度。
 
分析與解：如左下圖所示，按箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)虛線部分，于是得到了三個(gè)邊長分別為3，5，7厘米的正方形和中間一個(gè)三邊圖形(見右下圖)。所以螺線總長度為
(3＋5＋7)×4＋1×3=63(厘米)。