和倍應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系，形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如，和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。
和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是：
已知大、小二數(shù)的“和”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。
上面的問題中有“和”，有“倍數(shù)”，所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖如下：
 
從線段圖知，“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍，所以，
小數(shù)=和÷(倍數(shù)+1)。
上式稱為和倍公式。由此得到
大數(shù)=和-小數(shù)，
或   大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。
例如，大、小二數(shù)的和是265，大數(shù)是小數(shù)的4倍，則
小數(shù)=265÷(4＋1)=53，
大數(shù)=265-53=212或53×4=212。
例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸？
分析：把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”，此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。
解：乙倉庫存糧 264÷(10＋1)＝24(噸)，甲倉庫存糧
264-24=240(噸)，
或
24×10＝240(噸)。
答：乙倉庫存糧24噸，甲倉庫存糧240噸。
例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時出發(fā)，相向而行，2時后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時各行多少千米？
分析：已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度。現(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時共行 360千米，故1時共行 360÷2＝180(千米)，這就是兩輛車的速度和。
解：乙車的速度為
(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/時)，
甲車的速度為
60×2=20(千米/時)，或180-60=120(千米/時)。
答：甲車每時行120千米，乙車每時行60千米。
從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰，“和”是誰。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個“1倍”數(shù)不太明顯的例子。
例3 甲隊有45人，乙隊有75人。甲隊要調(diào)入乙隊多少人，乙隊人數(shù)才是甲隊人數(shù)的3倍？
分析：容易求得“二數(shù)之和”為 45＋75=120(人)。如果從“乙隊人數(shù)才是甲隊人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊人數(shù)”那就錯了，從75不是45的3倍也知是錯的。這個“1倍”數(shù)是誰？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動后甲隊的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下：
 
從圖中看出，把甲隊中“？”人調(diào)入乙隊后，(45＋75)就是甲隊剩下人數(shù)的 3＋1＝4(倍)。從而，甲隊調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。
解：甲隊調(diào)動后剩下的人數(shù)為
(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲隊調(diào)入乙隊的人數(shù)為45-30＝15(人)。
答：甲隊要調(diào)15人到乙隊。
例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？
仿照例3的分析可得如下解法。
解：兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(6＋1)倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下
(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹給哥哥書24-11＝13(本)。
答：妹妹給哥哥書13本。
例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個，而小灰兔自己又采了10個。這時，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來大白兔和小灰兔各采了多少個蘑菇？
分析與解：這道題仍是和倍應(yīng)用題，因為有“和”、有“倍數(shù)”。但這里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下：
 
 
根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù))
(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(個)，
故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(個)，大白兔原有蘑菇
160-15＝145(個)。
答：原來大白兔采蘑菇145個，小灰兔采15個。

差倍應(yīng)用題
 
與和倍應(yīng)用題相似的是差倍應(yīng)用題。它的“基本數(shù)學(xué)格式”是：
已知大、小二數(shù)之“差”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。
上面的問題中，有“差”、有“倍數(shù)”，所以叫做差倍應(yīng)用題。差倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系可以用下面的線段圖表示：
 
從線段圖知，“差”是小數(shù)(即“1倍”數(shù))的(倍數(shù)-1)倍，所以，
小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)。
上式稱為差倍公式。由此得到
大數(shù)=小數(shù)+差，
或
大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。
例如，大、小數(shù)之差是152，大數(shù)是小數(shù)的5倍，則
小數(shù)=152÷(5-1)=38，
大數(shù)=38＋152=190或38×5＝190。
例1 王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個零件？
分析：師徒二人一天生產(chǎn)的零件的“差”是128個。小數(shù)(即“1倍”數(shù))是徒弟一天生產(chǎn)的零件數(shù)，“倍數(shù)”為3。由差倍公式可以求解。
解：徒弟一天生產(chǎn)零件
128÷(3-1)=64(個)，
師傅一天生產(chǎn)零件
128＋64＝192(個)或64×3＝192(個)。
答：徒弟、師傅一天分別生產(chǎn)零件64個和192個。
例2 兩根電線的長相差30米，長的那根的長是短的那根的長的4倍。這兩根電線各長多少米？
解：“差”＝30，倍數(shù)=4，由差倍公式得短的電線長
30÷(4-1)＝10(米)，
長的電線長
10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。
答：短的電線長10米，長的電線長40米。
解差倍應(yīng)用題的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)是誰，“差”是什么。上兩例中，“1倍”數(shù)及“差”都極明顯地直接給出。下面講兩個稍有變化，不直接給出“差”和“1倍”數(shù)的例子。
例3 甲、乙二工程隊，甲隊有56人，乙隊有34人。兩隊調(diào)走同樣多人后，甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的3倍。問：調(diào)動后兩隊各還有多少人？
分析：畫線段圖如下：
 
由上圖可知，“1倍”數(shù)是乙隊調(diào)動后剩下的人數(shù)。因甲、乙隊調(diào)走的人數(shù)相同(不影響他們二隊人數(shù)之差)，所以，甲、乙兩隊人數(shù)之差仍是56-34=22(人)。
解：由差倍公式得調(diào)動后乙隊有
(56-34)÷(3-1)=11(人)。
調(diào)動后甲隊有
11×3=33(人)或11＋(56-34)=33(人)。
答：調(diào)動后甲隊有33人，乙隊有11人。
例4 甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？
分析與解：畫線段圖如下：
 
 
從上圖知，當(dāng)甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”數(shù)是甲桶里剩下的油�！安睢笔鞘裁茨兀繌膱D中可知，“1倍”與“3倍”之間的差26＋14＝40(千克)就是我們要找的“差”。所以，由差倍公式知，
“1倍”數(shù)=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。
故甲、乙桶原來各有油
20＋26＝46(千克)，
或 20×3-14＝46(千克)。
答：原來各有46千克。
例5 小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多少本書？
分析與解：“小雨的書比小云的書多2倍”，即小雨的書是小云的書的3倍。這個“倍數(shù)”是變化后的，所以“1倍”數(shù)應(yīng)是小云變化后的書(見下圖)�！安睢笔�
20＋5＋11＝36(本)。
 
根據(jù)和差公式得：
小云現(xiàn)有書
(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)。
小云原來有書18＋5＝23(本)，
小雨原來有書23＋20＝43(本)。
答：原來小云有23本書，小雨有43本書。

運用韋恩圖解題的三個層次

由于圖形簡明、直觀，因此很多數(shù)學(xué)問題解題往往借助于圖形來分析，下面例析運用集合中“韋恩圖”解題的三個層次：識圖��用圖��構(gòu)圖。
一、識圖
是指給出韋恩圖形式，用集合的交集、并集及補集等集合的運算表示。
例1. 如圖1，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
 
圖1
A.  B. 
C.  D.
解：陰影部分是M與P的公共部分（轉(zhuǎn)化為集合語言就是M P），且在S的外部（轉(zhuǎn)化為集合語言就是CIS），故選C。
例2. 用集合A、B及它們的交集、并集、補集的符號表示陰影部分的集合，正確的表達式是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
 
圖2
解：陰影有兩部分，左邊部分在A內(nèi)且B外（轉(zhuǎn)化成集合語言就是 ），右邊部分在B內(nèi)且A外（轉(zhuǎn)化成集合語言就是 ），故選C。
二、用圖
例3. 設(shè)U為全集，非空集合P、Q滿足 ，若含P、Q的一個集合運算表達式，使運算結(jié)果為空集 ，則這個運算表達式可以是__________（只要寫出一個表達式）。
解：將集合語言用韋恩圖表示，如圖3，極易得到多種答案：
 
圖3
（1）
（2）
（3） ；
……
例4. 已知全集 ，則（ ）
A.  B. 
C.  D. 
解：根據(jù)題意，易得 ，畫出韋恩圖（如圖4），顯然 ，故選C。
 
圖4
例5. 設(shè)全集 ， ＝{9}，求A，B。
分析：本題關(guān)系較為復(fù)雜，由推理的方法較難，而用韋恩圖，則顯得簡捷。
解：由U＝{1，2，3，…，9}，根據(jù)題意，畫韋恩圖，如下圖，易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}
 
圖5
三、構(gòu)圖
對于某些應(yīng)用題，若能構(gòu)造韋恩圖求解，可使問題變得簡單明了。
例6. 某班50名學(xué)生中，會講英語的有36人，會講日語的有20人，即會講英語又會講日語的有14人，問既不會講英語又不會講日語的有多少人？
解：設(shè)全集U＝{某班50名學(xué)生}，A＝{會講英語的學(xué)生}，B＝{會講日語的學(xué)生}， ＝{既會講英語又會講日語的學(xué)生}，則由韋恩圖知，既不會英語又不會日語的學(xué)生有：50－22－14－6＝8（人）
 
圖6
例7. 50名學(xué)生做物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做正確的有40人，化學(xué)實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，問這兩種實驗都做對的有多少人？
解：設(shè)全集U＝{做理化實驗的50名學(xué)生}，A＝{做對物理實驗的學(xué)生}，B＝{做對化學(xué)實驗的學(xué)生}， ＝{兩種實驗都做對的學(xué)生}，并設(shè)
 ，則由韋恩圖（圖略），知
 ，解得
即兩種實驗都做對的有25人。

巧算年齡

［題目］某村有甲、乙、丙、丁四位老人。他們四個人的平均年齡是82歲，甲、乙兩位老人的平均年齡比丙、丁兩位老人的平均年齡大2歲，丙老人比丁老人小2歲。甲老人今年已經(jīng)92歲了。求今年乙、丙、丁三位老人的年齡各是多少？
［分析與解］
由四位老人的平均年齡是82歲，可知四位老人的年齡之和為 （歲），
由甲、乙兩位老人的平均年齡比丙、丁兩位老人的平均年齡大2歲，
可知甲、乙兩位老人的年齡之和比丙、丁兩位老人的年齡之和大4歲。
因此可以求出甲、乙兩位老人的年齡之和為 （歲），
因為甲老人今年92歲，所以乙老人今年 （歲）。
由甲、乙兩位老人的年齡之和是166歲可以求出丙、丁兩位老人的年齡之和為 （歲），
因為丙老人比丁老人小2歲，
所以丙老人今年 （歲），
丁老人今年 （歲）。