打折問題

一種商品，按期望得到50％的利潤來定價。結(jié)果只銷售掉70％商品，為盡早銷掉剩下的商品，商店決定按定價打折出售。這樣獲得的全部利潤，是原來所期望利潤的82％問打了幾折？

解：假設(shè)成本為x，打折a，則定價為1.5x，期望利潤為0.5x，
所以（0.7*0.5x+（1.5ax-x）*30%）/0.5x=0.82，求得a=0.8

抽屜原理和六人集會問題

　　“任意367個人中，必有生日相同的人。”

　　“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套�！�

　　“從數(shù)1，2，...，10中任取6個數(shù)，其中至少有2個數(shù)為奇偶性不同。”

　　... ...

　　大家都會認為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢？這個原理叫做抽屜原理。它的內(nèi)容可以用形象的語言表述為：

　　“把m個東西任意分放進n個空抽屜里（m>n），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個東西。”

　　在上面的第一個結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當于把367個東西放入 366個抽屜，至少有 2個東西在同一抽屜里。在第二個結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，...，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。

　　抽屜原理的一種更一般的表述為：

　“把多于kn個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了至少k+1個東西�！�

　　利用上述原理容易證明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)�！币驗槿我徽麛�(shù)除以3時余數(shù)只有0、1、2三種可能，所以7個整數(shù)中至少有3個數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。

　　如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：

　　“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西。”

　　抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。

追  及  問  題

追及問題的地點可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。根據(jù)速度差、距離差和追及時間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：
距離差=速度差×追及時間　
追及時間=距離差÷速度差　　
速度差=距離差÷追及時間　
速度差=快速-慢速　
* 1 甲、乙二人在同一條路上前后相距9千米。他們同時向同一個方向前進。甲在前，以每小時5千米的速度步行；乙在后，以每小時10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時后乙能追上甲？
* 2 甲、乙二人在相距6千米的兩地，同時同向出發(fā)。乙在前，每小時行5千米；甲在后，每小時的速度是乙的1.2倍。甲幾小時才能追上乙？
* 3 甲、乙二人圍繞一條長400米的環(huán)形跑道練習長跑。甲每分鐘跑350米，乙每分鐘跑250米。二人從起跑線出發(fā)，經(jīng)過多長時間甲能追上乙？
* 4 在解放戰(zhàn)爭的一次戰(zhàn)役中，我軍偵察到敵軍在我軍南面6千米的某地，正以每小時5.5千米的速度向南逃竄，我軍立即以每小時8.5千米的速度追擊敵人。在追上敵人后，只用半小時就全殲敵軍。從開始追擊到全殲敵軍，共用了多長時間？
* 5 一排解放軍從駐地出發(fā)去執(zhí)行任務(wù)，每小時行5千米。離開駐地3千米時，排長命令通訊員騎自行車回駐地取地圖。通訊員以每小時10千米的速度回到駐地，取了地圖立即返回。通訊員從駐地出發(fā)，幾小時可以追上隊伍？
# 6甲、乙同時從兩面三刀地同向前進，甲在乙前200米，甲每分鐘走70米，乙每分鐘走80米，幾分鐘后乙追上甲？
# 7 甲乙二人同地同方向出發(fā)，甲每小時走7千米，乙每小時走5千米。乙先走2小時后，甲才開始走，甲追上乙需要幾小時？
# 8小偉和小華從學校到電影院看電影，小偉以每分60米的速度向影院走去，5分后小華以每分80米的速度向影院走去，結(jié)果兩人同時到達影院。學校到影院的路程是多少米？
# 9小聰和小明從學校到相距2400米的電影院去看電影。小聰每分行60米，他出發(fā)后10分小明才出發(fā)，結(jié)果倆人同時到達影院，小明每分行多少米？
# 10甲乙兩輛汽車同時從A地出發(fā)去B地，甲車每小時行50千米，乙車每小時行40千米。途中甲車出故障停車修理了3小時，結(jié)果甲車比乙車遲到1小時到達B地。A、B兩地間的路程是多少？
# 11一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行40千米，開出5小時后，一列火車以每小時90千米的速度也從甲地開往乙地。在甲乙兩地的中點處火車追上汽車，甲乙兩地相距多少千米？
# 12甲、乙兩人同時從相距8千米的A、B兩地出發(fā)，向同一方向行走，甲每小時行走6千米，乙每小時行走4千米。（1） 若甲在前面，乙在后面，走4小時后兩人會怎樣？（2） 若乙在前面，甲在后面，走4小時后兩人會怎樣？
# 13甲、乙兩人相距6千米，乙在前，甲在后，兩人同時從同向出發(fā)，3小時后甲追上乙，乙每小時行走4千米，甲每小時行多少千米？
# 14甲以每小時5千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小時騎自行車從同一地點出發(fā)去追甲，乙每小時行10千米，乙?guī)仔�時可以追上甲？
# 15一架敵機侵犯我領(lǐng)空，我機立即起飛迎擊，在兩機相距50千米時，敵機扭轉(zhuǎn)機頭以每分鐘14千米的速度逃跑，我機以每分鐘點20千米的速度追擊，當我機追至距敵機2千米時，與敵機激戰(zhàn)，用1分鐘將敵機擊落，敵機從扭頭逃跑到被擊落共用了多少分鐘？
# 16甲、乙兩人以每分鐘60米的速度同時、同地、同向步行出發(fā)，走12分鐘后，甲返回取東西，而乙繼續(xù)前進，甲取東西用去6分鐘，然后改騎自行車以每分鐘360米的速度去追乙，騎車多少分才能追上乙？
# 17甲、乙二人同時從相距10千米的A、B兩地出發(fā)，同向而行，乙在前，甲在后。甲每小時行走6千米，乙每小時行走4千米，途中乙因故休息1小時，幾小時后，甲追上乙？
# 18甲船每小時行駛30千米，乙船每小時行駛26千米，兩船同時同地背向出發(fā)巡邏，2小時后，甲船返回追乙船，幾小時可以追上乙船？
# 19甲每小時跑12行米，乙每小時跑10千米，乙比甲多跑了2小時，結(jié)果乙多跑了4千米，乙總共跑了多少千米？
# 20、甲、乙二人同時從A、B兩地出發(fā)，向同一方向行走，甲在前，乙在后，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，途中甲因故休息了1小時，5小時后兩人相距26千米，A、B兩地相距多少千米？

基準數(shù)法

　�。�1）計算：23+20+19+22+18+21
　　解：仔細觀察，各個加數(shù)的大小都接近20，所以可以把每個加數(shù)先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的減去.
　　23+20+19+22+18+21
　　=20×6+3+0-1+2-2+1
　　=120+3=123
　　6個加數(shù)都按20相加，其和=20×6=120.23按20計算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20計算多加了“1”，所以再減去“1”，以此類推.
　�。�2）計算：102+100+99+101+98
　　解：方法1：仔細觀察，可知各個加數(shù)都接近100，所以選100為基準數(shù)，采用基準數(shù)法進行巧算.
　　102+100+99+101+98
　　=100×5+2+0-1+1-2=500
　　方法2：仔細觀察，可將5個數(shù)重新排列如下：（實際上就是把有的加數(shù)帶有符號搬家）
　　102+100+99+101+98
　　=98+99+100+101+102
　　=100×5=500
　　可發(fā)現(xiàn)這是一個等差連續(xù)數(shù)的求和問題，中間數(shù)是100，個數(shù)是5.　

求22+24+26+……+42的和
A?348B?350C?352D?354
題解析：本題所用公式為(首項+末項)÷2×項數(shù)，項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1，所以，本題的項數(shù)=(42-22)÷2+1=11，答案為(22+42)÷2×11=352。故本題的正確答案為C