一、平方數(shù)列及其變式

　　平方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的平方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差、等比，也可能是其他規(guī)律。例如：1,4,9,16,25,36……

　　典型平方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列(自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等)的平方。

　　平方數(shù)列變式：這一數(shù)列不是簡單的平方數(shù)列，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“加減乘除某一常數(shù)”變化的數(shù)列。

　　例題1.(2008年中央第45題)

　　14,20,54,76，(　　)

　　A.104  B.116

　　C.126  D.144

　　【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。其規(guī)律：14＝32＋5,20＝52－5,54＝72＋5,76＝92－5，未知項應(yīng)為112＋5，即為126。故選C。

　　例題2.(2008年北京市(應(yīng)屆)第2題)

　　2,3,10,15,26，(　　)

　　A.32  B.35

　　C.38  D.42

　　【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。該數(shù)列規(guī)律為：2＝12＋1,3＝22－1,10＝32＋1,15＝42－1,26＝52＋1，所以其下一項應(yīng)為62－1＝35。故選B。

　　例題3.(2007年浙江省第9題)

　　(　　),35,63,80,99,143

　　A.24  B.15

　　C.8  D.1

　　【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。原數(shù)列可以變形為(　　)，62－1,82－1,92－1,102－1,122－1，由此可知該數(shù)列各項是合數(shù)的平方減去1，那么(　　)＝42－1＝15。故選B。

　　例題4.(2007年甘肅省第5題)

　　6,7,11,20，(　　)

　　A.33   B.34

　　C.35   D.36

　　【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。該題題干中的后項與前項之差分別為7－6＝1,11－7＝4,20－11＝9，可見這1、4、9是自然數(shù)列1、2、3的平方，下個數(shù)應(yīng)為16，即4的平方，所以(　　)內(nèi)之?dāng)?shù)是16＋20＝36。故選D。

　　例題5.(2007年廣東省第3題)

　　3,2,11,14，(　　)

　　A.17  B.19

　　C.24  D.27

　　【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：n2＋(－1)n＋1×2＝an(n為自然數(shù))，即12＋2＝3,22－2＝2,32＋2＝11,42－2＝14，所以(　　)內(nèi)之?dāng)?shù)是52＋2＝27。故選D。

　　二、立方數(shù)列及其變式

　　立方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的立方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差、等比，也可能是其他規(guī)律。例如：1,8,27,64,125……典型立方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列(自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等)的立方。

　　立方數(shù)列的變式是指在立方數(shù)列的基礎(chǔ)上進(jìn)行某種變化后得到的新數(shù)列，這種變化通常是指“加減乘除某一常數(shù)”的變化。

　　例題1.(2007年中央第45題)

　　0,2,10,30，(　　)

　　A.68  B.74

　　C.60  D.70

　　【解析】該數(shù)列為立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：(n－1)3＋(n－1)＝an(n為自然數(shù))，原數(shù)列可變形為03＋0＝0,13＋1＝2,23＋2＝10,33＋3＝30，因此，未知項為43＋4＝68。故選A。

　　例題2.(2006年中央(一類)第33題，(一類)第28題)

　　－2，－8,0,64，(　　)

　　A.－64  B.128

　　C.156   D.250

　　【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：an＝(n－3)×n3(n為自然數(shù))，即－2＝(1－3)×13，－8＝(2－3)×23,0＝(3－3)×33,64＝(4－3)×43，由此可知，未知項為(5－3)×53＝250。故選D。

　　例題3.(2007年江蘇省(A類)第8題)

　�。�2，－1,6,25,62，(　　)

　　A.105  B.123

　　C.161   D.181

　　【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：－2＝03－2，－1＝13－2,6＝23－2,25＝33－2,62＝43－2，所以下一項為：53－2＝123。故選B。

　　例題4.(2007年浙江省第5題)

　　0,9,26,65，(　　),217

　　A.106  B.118

　　C.124  D.132

　　【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。原數(shù)列可以變形為13－1,23＋1,33－1,43＋1，(　　),63＋1，由此規(guī)律(　　)＝53－1＝124。故選C。

　　例題5.(2007年黑龍江省(A類)第2題)

　　8,27,64，(　　),216

　　A.125  B.100

　　C.160  D.121

　　【解析】該數(shù)列是典型的立方數(shù)列。規(guī)律為：23,33,43，(　　)，63，未知項為53＝125。故選A。

　　例題6.(2006年江蘇省(A類)第2題)

　　4,11,30,67，(　　)

　　A.121  B.128

　　C.130  D.135

　　【解析】該數(shù)列是一個立方數(shù)列的變式。a1＝4＝13＋3，a2＝11＝23＋3；a3＝30＝33＋3；a4＝67＝43＋3；依此規(guī)律a5＝53＋3＝128。故選B。