一、整除運算

　　(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。

　　(2)若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。

　　(3)若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

　　(4) 若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

　　(5)若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。

　　(6)若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

　　(7)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。

　　(8)若一個整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。

　　(9)若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

　　(10)若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。

　　(11)若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。

　　(12)若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。

　　(13)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。

　　(14)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。

　　(15)若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。

　　(16)若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。

　　(17)若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。

　　(18)若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23整除。

　　例題1.(2008年山東省第9題)

　　有a，b，c，d四條直線，依次在a線上寫1，在b線上寫2，在c線上寫3，在d線上寫4，然后在a線上寫5，在c線和d線上寫數(shù)字6,7,8，……，按這樣的周期循環(huán)下去，問數(shù)字2 008寫在哪條線上？(　　)

　　A.a線      B.b線   

　　C.c線     D.d線

　　【解析】本題實質(zhì)考查2 008除以4的余數(shù)問題，可知其可被整除，所以2 008應(yīng)寫在d線上。故選D。

　　例題2.(2007年北京市(應(yīng)屆)第11題)

　　一個兩位數(shù)除以一個一位數(shù)，商仍是兩位數(shù)，余數(shù)是8。問：被除數(shù)、除數(shù)、商以及余數(shù)之和是多少？(　　)

　　A.98      B.107    

　　C.114     D.125

　　【解析】由“余數(shù)是8”可知，除數(shù)只能是9，由于被除數(shù)是兩位數(shù)，商也是兩位數(shù)，則商只能取10，則被除數(shù)為9×10＋8＝98，因此，98＋9＋10＋8＝125。故選D。

　　例題3.(2007年浙江省第13題)

　　小張在做一道除法時，誤將除數(shù)45看成54，結(jié)果得到的商是3，余數(shù)是7。問正確的商和余數(shù)之和是(　　)。

　　A.11  B.18 

　　C.26  D.37

　　【解析】此題的關(guān)鍵是被除數(shù)是不變的。由題干條件可首先求出：被除數(shù)＝54×3＋7＝169，那么正確的商和余數(shù)應(yīng)由169÷45可得商為3余34，它們之和為37。故選D。

　　例題4.(2007年福建省第34題)

　　一批武警戰(zhàn)士平均分成若干小組值勤。如果每4人一組，恰好余1人。如果每5人一組，恰好也余1人，如果每6人一組，恰好還是余1人。這批武警戰(zhàn)士至少有(　　)人。

　　A.121  B.101 

　　C.81  D.61

　　【解析】根據(jù)題意，這批武警戰(zhàn)士的人數(shù)減1，能夠被4、5、6整除。又題目要求“至少有多少人”，即要求4、5、6的最小公倍數(shù)，再加1，得61。故選D。

　　例題5.(2007年中央第60題)

　　有一食品店某天購進了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤。該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購進了(　　)公斤面包。

　　A.44  B.45 

　　C.50  D.52

　　【解析】本題是整除運算題目。由題意可知，6箱食品共重102公斤，設(shè)賣出的一箱面包為x公斤，又由于剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，所以(102－x)應(yīng)是3的倍數(shù)，并且(102－x)÷3應(yīng)是其余5箱中一箱的重量或幾箱重量的和。只有當(dāng)x＝27時符合條件，此時共有面包27＋(102－27)÷3＝52公斤。故選D。