3. 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題

公約數(shù)與公倍數(shù)的概念

公約數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于零的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。

最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛，故而成為公務(wù)員考試中比較常見的題型。這類問題一旦真正理解，計(jì)算起來相對簡單。下面通過例題來加深大家對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)概念的理解。

例題1：有兩個(gè)兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是91，最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的12倍，求這較大的數(shù)是多少？   A.42 B.38 C.36 D.28

【答案】D。解析：這道例題非常清晰的點(diǎn)明了主旨，就是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題，那么我們可以根據(jù)定義來解決。這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是91÷（12+1）=7，最小公倍數(shù)是7×12=84，故兩數(shù)應(yīng)為21和28。

例題2：三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米、300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？   A.8 B.9 C.10 D.11

【答案】C。解析：這道例題中隱含了最大公約數(shù)的關(guān)系�！敖爻上嗟鹊男《巍�，即為求三數(shù)的公約數(shù)，“最少可截成多少段”，即為求最大公約數(shù)。每小段的長度是120、180、300的約數(shù)，也是120、180和300的公約數(shù)。120、180和300的最大公約數(shù)是60，所以每小段的長度最大是60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。

4.數(shù)的整除特性

關(guān)于數(shù)的整除特性，中公教育的教材上講的已經(jīng)很詳細(xì)了，但是還是不斷有學(xué)員問相關(guān)的題型，看來大家還是不能夠完全把握此類規(guī)律。我在這里做個(gè)表格，方便大家的理解和記憶。

可以被整除的數(shù)字特性:

2 偶數(shù)   3 每位數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)     4 末兩位是4的倍數(shù)   

5 末位數(shù)字是0或者5   6 能同時(shí)被2和3整除

7 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減�。┠鼙�7整除

8 末三位是8的倍數(shù)   9 每位數(shù)字相加的和是9的倍數(shù)      10 末位數(shù)字是0

11,奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差(以大減小)是能被11整除

12,任何一個(gè)三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)    　12 能同時(shí)被3和4整除

13 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減�。┠鼙�13整除

25 末兩位數(shù)是25的倍數(shù)    125 末三位是125的倍數(shù)

5. 空瓶問題

公務(wù)員考試中的數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)“空瓶換水的問題”有的考生由于抓不住此類問題的關(guān)鍵，解題時(shí)往往不夠準(zhǔn)確和迅速。在空瓶換水這類題目中往往都有這樣的字眼：幾個(gè)空瓶換一瓶飲料。這就是題目的關(guān)鍵所在，它告訴了我們多少空瓶可以換一個(gè)瓶子中的飲料。還有些題目將這個(gè)換為的未知的，解題的思路依然不變�？磶讉�(gè)例題：

例1.如果4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水，現(xiàn)有15個(gè)礦泉水空瓶，不交錢最多可以喝礦泉水：

A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶

解：由題意：3個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的礦泉水，顯然選C。

　　例2.6個(gè)空瓶可以換一瓶汽水，某班同學(xué)喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少要買多少瓶汽水？    A．131 B．130 C．128 D．127

解：5個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的水，代入算得A符合題意。

例3.冷飲店規(guī)定一定數(shù)量的汽水空瓶可換原裝汽水1瓶，旅游團(tuán)110個(gè)旅客集中到冷飲店每人購買了1瓶汽水，他們每喝完一定數(shù)量的汽水就用空瓶去換1瓶原裝汽水，這樣他們一共喝了125瓶汽水，則冷飲店規(guī)定幾個(gè)空瓶換1瓶原裝汽水？  A.8 B.9 C.10 D.11

解：用代入法檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)比較快的能得出答案。8個(gè)空瓶換一瓶水就相當(dāng)于7個(gè)空瓶子換一個(gè)瓶子中的水。

6.方隊(duì)人數(shù)問題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)相等，則剛好排成一個(gè)正方形，這種隊(duì)形就叫方隊(duì)，也叫做方陣。要求方陣的人數(shù)關(guān)鍵是要準(zhǔn)確把握方陣問題的核心公式：

1：方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方。

2：方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)的四分之一再加1。

3：方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層人數(shù)多8.

4：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)的2倍減去1。

7.不定方程

　　在大家不斷的做題中，總會碰到這樣一些詞語“至多”，“至少”這些關(guān)鍵詞，由這些關(guān)鍵詞語組成的問題我們就叫不定問題，不定問題的一個(gè)重要思維就是不定方程，通過列不定方程來把這些不確定的關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)化，數(shù)量化。

　　.例1：今有桃95個(gè)，分給甲、乙兩個(gè)工作組的工人吃，甲組分到的桃有 是壞的，其他是好的，乙組分到的桃有 是壞的，其他是好的。甲、乙兩組分到的好桃共有（ ）個(gè)

　　A.63 B.75 C.79 D.86

　　【答案】B。解析：甲組分到的桃是9的倍數(shù)，乙組分到的桃是16的倍數(shù)，故9m+16n=95，解得m=7，n=2，即甲組分到桃9×7=63個(gè)，乙組分到桃16×2=32個(gè)。兩組共分到好桃63×（1－ ）+32×（1－ ）=75個(gè)。

　例2：甲、乙、丙三人去買書，他們買書的本數(shù)都是兩位數(shù)字，且甲買的書最多，丙買的書最少，又知這些書的總和是偶數(shù)，他們的積是3960，那么乙最多買多少本書？（ ）

　　A.18 B.17 C.16 D.15

　　【答案】A。解析：設(shè)甲、乙、丙分別買書x本、y本、z本，則（x+y+z）是偶數(shù)，可知x、y、z或者都是偶數(shù)，或者兩奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，x×y×z=3960=23×32×5×11，若x、y、z都是偶數(shù)，則分別為2×11=22，2×32=18，2×5=10；若x、y、z是兩奇一偶，則分別為23×3=24，3×5=15，11。故乙最多買18本。

　　8.栽樹問題

　　一般來說栽樹問題有兩類：一類是不封閉的路線，如在馬路兩邊植樹；另一類是封閉的路線，如在正方形操場邊上植樹。下面就這兩類情況分別予以介紹。

　　首先要注意的是栽樹問題要明確三要素：1、總路線長；2、間距（棵距）長；3、棵數(shù)。只要知道其中任意兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)。

　　一、直線路線

　　比如題目要求在馬路一旁栽1排樹，并且在線路兩端都要植樹，則棵數(shù)要比段數(shù)多1。全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：

　　棵數(shù)= 段數(shù)+1=全長÷株距+1；　　全長= 株距×（棵數(shù)-1）；　　株距= 全長÷（棵數(shù)-1）

　　例1、（2006國家行測）為把2008年北京奧運(yùn)會辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林，某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場館的兩條路(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米。若每隔4米栽一棵則少2754棵；若每隔5米栽一棵,則多396棵，則共有樹苗( )。

　　A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵

　　解析：設(shè)兩條路共有樹苗x棵，根據(jù)栽樹原理總?cè)�長是不變的，所以結(jié)合上面給出的公式可以根據(jù)路程相等列方程：(x＋2754 －4)×4 = (x－396－4)×5。

　　注意：因?yàn)槭?條馬路兩邊都要栽樹，因此共有4排，所以要減4。　　解得x=13000.

　　二、封閉路線

　　封閉路線只需掌握公式：棵數(shù) = 段數(shù) = 周長÷株距

　　例2、正方形操場四周栽了一圈樹，每兩棵樹相隔5米。甲、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去（如圖），甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹與甲相遇。操場四周栽了多少棵樹？　　A 45 B 60 C 90 D 80

　　解析：方法一：如果按我們之前沒有介紹封閉路線的解法時(shí)的思路是這樣解得，設(shè)每條邊有樹x棵，則根據(jù)題意得 2×[5(x-1)+5×5]=3×5（x-1）-25,解得x=16。

　　故總共有16×2＋14×2=60棵樹。選B。

　　方法二：由于速度比等于路程比，由提意甲速是乙速，故在乙拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹乙走了5×5=25米，在這條邊上甲走了50米，因此正方形的邊長為25＋50=75；

　　利用封閉路線的公式，由于正方形是閉合曲線，所以有樹75×4÷5=60。

　　9.年齡問題

　　年齡問題是日常生活中一種十分常見的問題，也是公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算部分中的常見題型。它的主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應(yīng)用。解題時(shí)，我們一定要抓住年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵。

　　解答年齡問題的一般方法：

　　幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡

　　幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差

方程法解年齡問題

　熟練掌握了年齡關(guān)系之后，便可設(shè)所求為未知數(shù)，利用上述關(guān)系列方程求解。

　　例1：

　　爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時(shí)，爸爸34歲。現(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？　　A．34 B．39 C．40 D．42

　　【答案】C。解析：解法一：用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y-(z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。

　例2：　　1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?

　A．34歲，12歲 B．32歲，8歲 C．36歲，12歲 D．34歲，10歲

　【答案】C。解析：抓住年齡問題的關(guān)鍵即年齡差，1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍，則甲乙的年齡差為3倍乙的年齡，2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍，此時(shí)甲乙的年齡差為2倍乙的年齡，根據(jù)年齡差不變可得

　　3×1998年乙的年齡=2×2002年乙的年齡

　　3×1998年乙的年齡=2×（1998年乙的年齡+4）

　1998年乙的年齡=4歲

　　則2000年乙的年齡為10歲。