例4  189米長的鋼筋要剪成4米或7米兩種尺寸，如果剪法最省材料？

　　分析  顯然無殘料的剪法是最優(yōu)方案，于是考慮二元一次不定方程的整數(shù)解問題。

　　解：設(shè)4米長的剪x根，7米長的剪y根，依題意列方程

　　4x＋7y=189

　　根據(jù)倍數(shù)分析法可知

　　7︱x（即x是7的倍數(shù)）

　　令x1=0，則7y=189，解出y1=27；

　　x2=7，則7y=161，解出y2=23；

　　x3=14，則7y=133，解出y3=19；

　　x4=21，則7y=105，解出y4=15；

　　x5=28，則7y=77，解出y5=11；

　　x6=35，則7y=49，解出y6=7；

　　x7=42，則7y=21，解出y7=3。

　　因此，有七種剪法都是最省材料的。

　　說明：本例是最簡單的下料問題，屬于“線性規(guī)劃”的范疇。線性規(guī)劃是運(yùn)用一次方程（組）、一次函數(shù)來解決規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)分支，規(guī)劃論研究的問題主要有兩類：一類是確定了一項(xiàng)任務(wù)，研究怎樣精打細(xì)算使用最少人力、物力和時(shí)間去完成它；另一類是在已有一定的人力、物力和財(cái)力的條件下，研究怎樣合理調(diào)配，使它們發(fā)揮最大限度的作用，從而完成最多的任務(wù)。

　　例5  用10尺長的竹竿做原材料，來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎么截法最合算？

　　分析  不難想到有三種截法省料：

　　截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，無殘料；

　　截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，殘料1尺；

　　截法3：截成4尺、4尺兩段，殘料2尺。

　　由于截法1最理想（無殘料），因此應(yīng)該充分應(yīng)用截法1�？紤]用原材料50根，可以截成100根3尺長的短竹竿，而4尺長的僅有50根，還差50根。于是再應(yīng)該截法3，截原料25根，可以得到4尺長的短竹竿50根，留下殘料：2×25=50（尺）

　　解：至少要用75根原材料，其中50根用截法1，25根用截法3，這樣的截法最省料。

　　說明：一般說來，一定長度的條形材料要截取兩種毛坯的下料問題，用本例的方法求解是比較省料的。這種解法的理論根要用到二元不等式及一次函數(shù)圖像，有興趣的讀者可參閱有關(guān)書刊。

　　例6  甲、乙兩個(gè)服裝廠每個(gè)工人和設(shè)備都能全力生產(chǎn)同一規(guī)格的西服，甲廠每月用 的時(shí)間生產(chǎn)上衣， 的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)900套西服；乙廠每月用 的時(shí)間生產(chǎn)上衣， 的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)1200套西服�，F(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長多生產(chǎn)西服，那么現(xiàn)在每月比過去多生產(chǎn)西服多少套？

　　分析  根據(jù)已知條件，甲廠生產(chǎn)一條褲子與一件上衣的時(shí)間比為2：3，因此在單位時(shí)間內(nèi)甲廠生產(chǎn)的上衣與褲子的數(shù)量之比也是2：3（注意：在固定時(shí)間內(nèi)，數(shù)量與每件所用時(shí)間成反比）；同理可知，在單位時(shí)間內(nèi)乙廠生產(chǎn)上衣與褲子的數(shù)量之比是3：4。

　　由于 ＞ ，所以甲廠善于生產(chǎn)褲子，乙廠善于生產(chǎn)上衣。下面簡單說明理由：

　　如果甲廠生產(chǎn)9條褲子，則相當(dāng)甲廠生產(chǎn)6件上衣；如果讓乙廠生產(chǎn)這6件上衣，則相當(dāng)于生產(chǎn)8條褲子。這就是說，甲廠生產(chǎn)9條褲子時(shí)乙廠只能生產(chǎn)8條褲子。顯然甲廠善于生產(chǎn)褲子。類似地，如果乙廠生產(chǎn)9件上衣，則相當(dāng)于乙廠生產(chǎn)12條褲子；如果讓甲廠生產(chǎn)這12條褲子，則相當(dāng)甲廠生產(chǎn)8件上衣。這就是說，乙廠生產(chǎn)9件上衣時(shí)甲廠只能生產(chǎn)8件上衣。顯然乙廠善于生產(chǎn)上衣。

　　解：兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長，安排乙廠全力生產(chǎn)上衣。由于乙廠用 月生產(chǎn)1200件上衣，那么乙廠全月可生產(chǎn)上衣：

　　1200÷ =2100（件）

　　同時(shí)，安排甲廠全力生產(chǎn)褲子，則甲廠全月可生產(chǎn)褲子：

　　900÷ =2250（條）

　　為了配套生產(chǎn)，甲廠先全力生產(chǎn)2100條褲子，這需要：

　　2100÷2250= （月）

　　然后甲廠再用 月單獨(dú)生產(chǎn)西服：

　　900× =60（套）

　　于是，現(xiàn)在聯(lián)合生產(chǎn)每月比過去多生產(chǎn)西服：

　�。�2100＋60）－（900＋1200）=60（套）

　　說明：本例是線性規(guī)劃中勞力組合問題。勞力組合最簡單的情況就是效率比問題，這里給出多種勞力（或機(jī)械）干兩種配套活的一般分工原則：

　　設(shè)甲生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品的數(shù)量比為 ，乙生產(chǎn)A產(chǎn)品與B產(chǎn)品的數(shù)量比為 。如果 ＞ ，則甲善于生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙善于生產(chǎn)B產(chǎn)品。