函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線，是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學的基礎。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，也是教師招聘必考的一個環(huán)節(jié)。函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關的性質(zhì)。
    一、 函數(shù)自身的對稱性探究
    定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關于點A (a ,b)對稱的充要條件是
         f (x) + f (2a－x) = 2b
    證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。
    （充分性）設點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
    故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P‘關于點A (a ,b)對稱，充分性得征。
    推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0
    定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是
   f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)  （證明留給讀者）
    推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)
    定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。
       ②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。
       ③若函數(shù)y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。
    ①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
    ∵函數(shù)y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱，
    ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
    f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
    又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，
    ∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
    f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
    f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
    f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。
    二、 不同函數(shù)對稱性的探究
    定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關于點A (a ,b)成中心對稱。
    定理5. ①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。
    ②函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。
    ③函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。
    定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③
     證明：設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P‘（x1，y1）在函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上。
    同理可證：函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。
    推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。
    三、函數(shù)對稱性應用舉例
    例1：三角函數(shù)圖像的對稱性列表

函 數(shù)	對稱中心坐標	對稱軸方程
y = sin x	( kπ, 0 )	x = kπ+π/2
y = cos x	( kπ+π/2 ,0 )	x = kπ
y = tan x	(kπ/2 ,0 )	無

    注：①上表中k∈Z
        ②y = tan x的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數(shù)學精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學新教案（修訂版）中都認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。