第二章 數(shù)量關(guān)系--數(shù)學(xué)運(yùn)算

　　第一節(jié) 數(shù)學(xué)運(yùn)算六大思想和方法

　　數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，它是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)觀點(diǎn)；數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體形式，是大家在解題過程中直接用到的工具。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的外在表現(xiàn)。

　　在前人總結(jié)和歸納的基礎(chǔ)上，我們得出，數(shù)學(xué)運(yùn)算的常用數(shù)學(xué)思想主要包括猜證結(jié)合思想、化歸思想、分合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、極限思想。這六大數(shù)學(xué)思想自然衍生，相互結(jié)合，演繹出多種數(shù)學(xué)方法，我們一般直接利用這些數(shù)學(xué)方法，快速解決數(shù)學(xué)運(yùn)算問題。

　　一、猜證結(jié)合思想--找到數(shù)學(xué)運(yùn)算答案的利器

　　猜證結(jié)合思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)已知條件做出大膽的猜想，然后將猜想和原題目進(jìn)行結(jié)合，通過合理的數(shù)學(xué)運(yùn)算來驗(yàn)證猜想的正確性得出結(jié)論的數(shù)學(xué)思想。

　�。ㄒ唬┐�入排除法

　　代入排除法是指將每個(gè)選項(xiàng)代入原題干中進(jìn)行推導(dǎo)，如果得到不符合題干條件的結(jié)論或者推出矛盾，則排除相應(yīng)選項(xiàng)的方法。公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)中所有題目均為客觀題，這一特點(diǎn)正好為代入排除法提供了基礎(chǔ)。

　　代入排除法是應(yīng)用了猜證結(jié)合思想的重要方法，適用于那些按部就班計(jì)算很耗時(shí)的問題。同時(shí)，代入排除法應(yīng)該與題目條件緊密結(jié)合，比如最終答案應(yīng)是偶數(shù)，則可以立刻排除不是偶數(shù)的選項(xiàng)，縮短計(jì)算過程，節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

　　例題1：

　　某公司甲、乙兩個(gè)營(yíng)業(yè)部共有50人，其中32人為男性。已知甲營(yíng)業(yè)部的男女比例為5∶3，乙營(yíng)業(yè)部的男女比例為2∶1，問甲營(yíng)業(yè)部有多少名女職員？

　　A．18B．16C．12D．9

　　【解析】若從兩個(gè)營(yíng)業(yè)部具體的男女比例條件出發(fā)來求解，比較繁瑣，但是若從選項(xiàng)入手，將選項(xiàng)代入題中進(jìn)行驗(yàn)證會(huì)比較簡(jiǎn)單省時(shí)。

　　兩個(gè)營(yíng)業(yè)部共有女性50-32=18名，且兩個(gè)營(yíng)業(yè)部都有女性，排除A。

　　甲營(yíng)業(yè)部的男女比例為5∶3，則甲營(yíng)業(yè)部的女職員人數(shù)是3的倍數(shù)，排除B。

　　代入C，若甲營(yíng)業(yè)部有12名女職員，則有12÷3×5=20名男職員，乙營(yíng)業(yè)部有32-20=12名男職員，則乙營(yíng)業(yè)部有12÷2=6名女職員，共有女職員12+6=18名，符合題意。

　　所以正確答案為C。

　　例題2：

　　甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)的人數(shù)是乙隊(duì)的70%。根據(jù)工程需要，現(xiàn)從乙隊(duì)抽出40人到甲隊(duì)，此時(shí)乙隊(duì)比甲隊(duì)多136人，則甲隊(duì)原有人數(shù)是：

　　A．504人B．620人C．630人D．720人

　　【解析】甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)的70%，則甲隊(duì)人數(shù)一定是7的倍數(shù)，這樣可以排除B、D，縮小判斷的范圍。

　　代入C項(xiàng)，甲隊(duì)人數(shù)是10的倍數(shù)，甲隊(duì)是乙隊(duì)人數(shù)的70%，則乙隊(duì)人數(shù)也是10的倍數(shù)，從乙隊(duì)抽出40人之后，甲乙兩隊(duì)相差的人數(shù)必然是10的倍數(shù)，這與題中條件不符，排除C，選擇A。

　�。ǘ�）特值法

　　特值法是通過對(duì)某一個(gè)未知量取一個(gè)特殊值，將未知量變成已知量來簡(jiǎn)化問題的方法。這種方法是猜證結(jié)合思想的具體應(yīng)用，也是公務(wù)員考試中非常常見的一種方法。

　　常用的特殊值有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊方程、特殊點(diǎn)等。一般，首先假設(shè)出一個(gè)特殊值，然后將特殊值代入題干，通過一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算推導(dǎo)出結(jié)論；有時(shí)候也會(huì)通過檢驗(yàn)特例、舉反例等方法來排除選項(xiàng)，這一點(diǎn)和代入排除法有些類似。

　　這里有一些比較常用的特殊值需要考生注意。比如工程問題經(jīng)常將總工程量設(shè)為特值“1”，行程問題有時(shí)也把總路程設(shè)為“1”，濃度問題中可以將溶液質(zhì)量設(shè)為100，和差倍比問題可以把基數(shù)設(shè)為單位“1”。這些只是常用的取特值的方法，在具體的題目中應(yīng)根據(jù)題中的條件選取合理的數(shù)值，最終達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。

　　例題3：

　　有一本暢銷書，今年每?jī)?cè)書的成本比去年增加了10%，因此每?jī)?cè)書的利潤(rùn)下降了20%，但是今年的銷售比去年增加了70%，則今年銷售該暢銷書的總利潤(rùn)比去年增加了：

　　A．36%B．25%C．20%D．15%

　　【解析】此題可以設(shè)未知量來進(jìn)行求解，但是如果直接使用特值法，假設(shè)去年每?jī)?cè)書的利潤(rùn)和銷售量，可以簡(jiǎn)化計(jì)算量。

　　設(shè)去年每?jī)?cè)書的利潤(rùn)為1，銷售量為1，去年的總利潤(rùn)為1×1=1；

　　則今年每?jī)?cè)書的利潤(rùn)為1-20%=0.8，銷售量為1+70%=1.7，總利潤(rùn)為0.8×1.7=1.36，比去年增加了（1.36-1）÷1=36%。所以選擇A。

　　例題4：

　　已知鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變?yōu)?%，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變?yōu)?%，第三次再加入同樣多的水后鹽水濃度是多少？

　　A.3%B．2.5%C．2%D．1.8%

　　【解析】此題沒有具體的數(shù)據(jù)，給出的只有數(shù)據(jù)之間的比例關(guān)系，因此可以通過設(shè)某個(gè)未知量為已知量，然后代入算出其他未知量。此題鹽的總量沒有發(fā)生變化，不妨將其設(shè)為已知量。

　　由于第一次加水以后，鹽水濃度為6%，則可設(shè)鹽水中的含鹽量為6，故第一次加水以后，鹽水的質(zhì)量為6÷6%=100；

　　第二次加水以后，鹽水的質(zhì)量為6÷4%=150，因此所加的水量為150-100=50；

　　第三次加水以后，鹽水的質(zhì)量為150+50=200，此時(shí)，鹽水濃度為6÷200=3%。

　　所以選擇A。

　　例題5：

　　有粗細(xì)不同的兩支蠟燭，細(xì)蠟燭的長(zhǎng)度是粗蠟燭長(zhǎng)度的2倍，點(diǎn)完細(xì)蠟燭需要1小時(shí)，點(diǎn)完粗蠟燭需要2小時(shí)。有一次停電，將這樣兩支蠟燭同時(shí)點(diǎn)燃。來電時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩支蠟燭所剩長(zhǎng)度一樣，則此次停電共停了：

　　A.10分鐘B.20分鐘

　　C.40分鐘D.60分鐘

　　【解析】由于蠟燭長(zhǎng)度和燃燒速度均給出了相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，則可采用特值法簡(jiǎn)化計(jì)算，使未知變量減少為一個(gè)。

　　設(shè)粗蠟燭長(zhǎng)度為1，細(xì)蠟燭長(zhǎng)度為2。則粗蠟燭每小時(shí)減少1÷2=0.5，細(xì)蠟燭每小時(shí)減少2÷1=2。設(shè)停電x小時(shí)，1-0.5x=2-2x，求得x=■。所以正確答案為C。

　�。ㄈ�）歸納法

　　歸納法是從已知條件的簡(jiǎn)單情況入手，通過對(duì)特殊情況的總結(jié)，得出一個(gè)普遍適用規(guī)律的方法。這種方法適用于那些多次重復(fù)操作的問題。

　　需要注意的是，這種方法得出的結(jié)論只是猜測(cè)而沒有經(jīng)過合理證明，因此有時(shí)候得出的結(jié)論不一定是正確的，需要通過證明驗(yàn)證其正確性。

　　例題6：

　　一個(gè)邊長(zhǎng)為80厘米的正方形，依次連接四邊中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，這樣繼續(xù)下去可得到第三個(gè)、第四個(gè)、第五個(gè)、第六個(gè)正方形，問第六個(gè)正方形的面積是多少平方厘米？

　　A．128平方厘米B．162平方厘米

　　C．200平方厘米D．242平方厘米

　　例題7：云南行測(cè)真題

　�。顬椋保埃耙詢�(nèi)的自然數(shù)，那么能令２ｎ－１被７整除的ｎ有多少個(gè)？

　�。粒�３２ Ｂ．３３ Ｃ．３４Ｄ．３５

　　【解析】n＝0時(shí)，2n-1＝0，能被7整除；……；

　　當(dāng)n＝3時(shí)，2n-1＝7，能被7整除，……；

　　當(dāng)n＝6時(shí)，2n-1＝6３，能被7整除，……；

　　由此歸納得出，當(dāng)n能被3整除時(shí)，2n-1能被7整除。

　　100以內(nèi)，能被3整除的自然數(shù)有0、3、6、9、…、９９，共３4個(gè)。所以正確答案為C。

　　二、化歸思想--從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，從陌生到熟悉

　　化歸思想是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而可以快速解決問題的數(shù)學(xué)思想，其核心為：

　　將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題；將難解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

　　應(yīng)用化歸思想解題的一般步驟為：

　　1.將一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問題通過某種途徑轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；

　　2.求解這個(gè)熟悉問題；

　　3.通過熟悉問題的解答進(jìn)而得到原問題的解答。

　　如下圖所示：

　�。ㄒ唬�換元法

　　換元法是指用一個(gè)或者多個(gè)變量去替換一個(gè)或者一些算術(shù)式子或者變量，從而使運(yùn)算過程和解題過程得到簡(jiǎn)化的方法。

　　換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，是將兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)量進(jìn)行等量代換，其最終目的是要通過變換研究對(duì)象，將原對(duì)象相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為新對(duì)象相關(guān)問題去研究，使原來不標(biāo)準(zhǔn)的問題變得標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單化。

　　需要記住的是，在換元過程中一定要保證原問題和新問題的等價(jià)性，對(duì)于新變量的取值范圍一定要慎重。

　　例題1：

　　甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢？

　　A．21元B．11元C．10元D．17元

　　【解析】此題是一道常規(guī)的計(jì)算題，涉及三種物品和兩種情況，直接列方程即可。由于未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于等式的個(gè)數(shù)，因此所得的方程為不定方程組，求解起來比較困難，如果利用換元法，將不定方程組轉(zhuǎn)化為我們熟知的二元一次方程組，問題就迎刃而解了。

　　設(shè)簽字筆、圓珠筆、鉛筆的單價(jià)分別為x元、y元、z元，則可以得到

　　原問題：3x+7y+z=32 4x+10y+z=43；

　　如果我們假設(shè)m=x+y+z，n=x+3y，則原問題可以化為

　　新問題：m+2n=32 m+3n=43。

　　求解新問題可得：m=10，n=11。

　　而m=10元正好是題目所要求的答案。

　　所以正確答案為C。

　�。ǘ�）構(gòu)造法

　　構(gòu)造法是指根據(jù)題設(shè)條件或者結(jié)論所具有的特征，利用數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)模型，并借助這個(gè)數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的方法。常用的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)、公式、方程、不等式、圖象、其他復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型等。

　　構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，需要考生全面掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)并靈活運(yùn)用。

　　例題2：

　　某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成了一個(gè)6行、8列的長(zhǎng)方陣�，F(xiàn)在要求各行從左至右1，2，1，2，1，2，1，2報(bào)數(shù)；再各列從前到后1，2，3，1，2，3報(bào)數(shù)。問在兩次報(bào)數(shù)中，所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有：

　　A.18個(gè)B.24個(gè)C.32個(gè)D.36個(gè)

　　【解析】此題是以方陣為背景的化歸問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造出符合題目情景的方陣模型。顯然報(bào)數(shù)是有規(guī)律可言的，將每個(gè)人報(bào)的數(shù)標(biāo)注在構(gòu)造的方陣上，觀察其中的規(guī)律即可。

　　依題意構(gòu)造出方陣表格（其中兩次報(bào)數(shù)數(shù)字相同的標(biāo)上“√”）：

　　觀察前幾列可以看出，對(duì)于每一列而言，報(bào)1的有2人；對(duì)于每一行而言，報(bào)1的有4個(gè)人，故而兩次均報(bào)1的有2×4=8人。同理可得，兩次均報(bào)2的也有2×4=8人。所以，報(bào)數(shù)不同的戰(zhàn)士有6×8-8-8=32人。正確答案為C。

　　例題3：

　　逆推法是指從問題的結(jié)果出發(fā)，一步一步進(jìn)行逆向推理，逐步推出最初狀態(tài)的方法。如果問題從正面直接考慮，可能會(huì)因?yàn)閿?shù)據(jù)之間關(guān)系復(fù)雜，無法很快得出答案，此時(shí)利用逆推法，從反向入手，“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，大大簡(jiǎn)化解題步驟。

　　一般來說，逆推法在操作還原問題中應(yīng)用較多。

　　例題5：

　　一個(gè)箱子中有若干個(gè)玩具，每次拿出其中的一半再放回去一個(gè)玩具，這樣共拿了5次，箱子里還有5個(gè)玩具，箱子原有玩具的個(gè)數(shù)為：

　　A.76B.98C.100D.120

　　【解析】此題是典型的操作還原問題，直接計(jì)算也可以，但是計(jì)算強(qiáng)度比較大。如果從最終狀態(tài)一步一步往前逆推，計(jì)算就十分簡(jiǎn)單，可以按部就班地得出答案了。另外，此題還可以從玩具數(shù)的奇偶性來考慮。

　　方法一：從第五次拿完以后，一步一步地往前逆推，直至得到最初的狀態(tài)。

　　第五次拿了以后：5個(gè)

　　第四次拿了以后：（5-1）×2=8個(gè)

　　第三次拿了以后：（8-1）×2=14個(gè)

　　第二次拿了以后：（14-1）×2=26個(gè)

　　第一次拿了以后：（26-1）×2=50個(gè)

　　最初的個(gè)數(shù)：（50-1）×2=98個(gè)

　　方法二：根據(jù)奇偶性，第一次拿了其中的一半再放回去一個(gè)，此時(shí)的玩具數(shù)必須是偶數(shù)，否則將無法繼續(xù)下面的操作，選項(xiàng)中只有B項(xiàng)98個(gè)滿足這一條件。正確答案為B。

【內(nèi)容導(dǎo)航】

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第4頁：公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)輔導(dǎo)教材(4)

第5頁：公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)教材第3章：判斷推理--圖形推理

第6頁：公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)教材第4章：判斷推理--邏輯判斷

第7頁：公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)教材第5章：判斷推理--定義判斷

第8頁：公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)教材第6章：判斷推理--類比推理

第9頁：公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)教材第7章：常識(shí)判斷

第10頁：公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)教材第8章：言語理解與表達(dá)

第11頁：公務(wù)員考試行測(cè)輔導(dǎo)教材第9章：資料分析