雞兔同籠問題

“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法--“假設(shè)法”來求解.因此很有必要學(xué)會它的解法和思路.

例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？

解：我們設(shè)想，每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，?也就是
244÷2=122（只）.
在122這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只.
    答：有兔子34只，雞54只.
                  　　
上面的計算，可以歸結(jié)為下面算式：
總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù).
上面的解法是《孫子算經(jīng)》中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計算方法就行不通.因此，我們對這類問題給出一種一般解法.
    
還說例1.
如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有4×88只腳，比244只腳多了88×4-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.說明我們設(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式：
雞數(shù)=（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）
當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳2×88=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，68÷2=34（只）.
說明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式：
兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.
上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個數(shù).

假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.
現(xiàn)在，拿一個具體問題來試試上面的公式.
例2 紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？
                  　　
解：以“分”作為錢的單位.我們設(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.
利用上面算兔數(shù)公式，就有：
藍(lán)筆數(shù)=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.
紅筆數(shù)=16-3=13（支）.
答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆.
                  　　
對于這類問題的計算，常�？梢岳�用已知腳數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8×（11+19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5.
就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍(lán)鉛筆）數(shù)是3.
30×8比19×16或11×16要容易計算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計算.實際上，可以任意設(shè)想一個方便的兔數(shù)或雞數(shù).
例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù)
      19×10+11×6=256.
      比280少24.
      24÷（19-11）=3，
      就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只.
      要使設(shè)想的數(shù)，能給計算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).
下面再舉四個稍有難度的例子.
                  　　
例3一份稿件，甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成，現(xiàn)在甲單獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7小時.甲打字用了多少小時？

解：我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時打
甲每小時打30÷6=5（份），乙每小時打30÷10=3（份）.
現(xiàn)在把甲打字的時間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.
根據(jù)前面的公式
“兔”數(shù)=（30-3×7）÷（5-3）
        =4.5，
“雞”數(shù)=7-4.5
        =2.5，
也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時.
答：甲打字用了4小時30分.
                  　　
例4 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪一年？

解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是：
（25×4-86）÷（4-3）=14（歲）.
 1998年，兄年齡是
 14-4=10（歲）.
 父年齡是
（25-14）×4-4=40（歲）.
 因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時，兄的年齡是
（40-10）÷（3-1）=15（歲）.
 這是2003年.
 答：公元2003年時，父年齡是兄年齡的3倍.
                  　　
例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只？
                 
解：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成“8條腿”與“6條腿”兩種.利用公式就可以算出8條腿的
蜘蛛數(shù)=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.
因此就知道6條腿的小蟲共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀.再利用一次公式
蟬數(shù)=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬.
                  　　
例6某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對4道的人數(shù)有多少人？

解：對2道、3道、4道題的人共有
    52-7-6=39（人）.
    他們共做對
    181-1×7-5×6=144（道）.
 由于對2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（（2+3）÷2=2.5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39.
 對4道題的有（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.
 答：做對4道題的有31人.

                            習(xí)題一

1.龜鶴共有100個頭，350只腳.龜、鶴各多少只？
2.學(xué)校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120個學(xué)生同時進(jìn)行活動.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副？
3.一些2分和5分的硬幣，共值2.99元，其中2分硬幣個數(shù)是5分硬幣個數(shù)的4倍，問5分硬幣有多少個？
4.某人領(lǐng)得工資240元，有2元、5元、10元三種人民幣，共50張，其中2元與5元的張數(shù)一樣多.那么2元、5元、10元各有多少張？
5.一件工程，甲單獨做12天完成，乙單獨做18天完成，現(xiàn)在甲做了若干天后，再由乙接著單獨做完余下的部分，這樣前后共用了16天.甲先做了多少天？
6.摩托車賽全程長281千米，全程被劃分成若干個階段，每一階段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）組成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）組成的.已知摩托車跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段？
7.用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，問最多可以買1角的郵票多少張？

二、“兩數(shù)之差”的問題

雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？

例7 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？
                  　　
解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.
       （680-8×40）÷（8+4）=30（張），這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.
        因此8分郵票有40+30=70（張）.
 答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.
                  　　
也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.
                  　　
解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計算單位，此時郵票總值是4×20+8×60=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：
                  （680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（張）.
                  因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.

例8 一項工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？
解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有
    （150-8×3）÷（10+8）= 7（天）.
     雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）.
     答：這項工程17天完成.
                  　　
請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個.這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.

總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？
                  　　
例9 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？
                  　　
解一：假如再補上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.
兔的只數(shù)是：（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.
雞是：100-38=62（只）.
答：雞62只，兔38只.
當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只數(shù)是（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.
 
也可以用任意假設(shè)一個數(shù)的辦法.
解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時腳數(shù)之差是：
      4×50-2×50=100，
      比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（千萬注意，不是2）.因此要減少的兔數(shù)是：
     （100-28）÷（4+2）=12（只）.
      兔只數(shù)是：
      50-12=38（只）.
      另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.
                  　　
例10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首.

解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時字?jǐn)?shù)相差
      13×5×4+20=280（字）.
      每首字?jǐn)?shù)相差：7×4-5×4=8（字）.
      因此，七言絕句有：28÷（28-20）=35（首）.
      五言絕句有：35+13=48（首）.
答：五言絕句48首，七言絕句35首.
                  　　
解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是20×23=460（字），28×10=280（字），五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了：460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差：180+20=200（字）.
      說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加
      200÷8=25（首）.
      五言絕句有
      23+25=48（首）.
      七言絕句有
      10+25=35（首）.
                  　　

在寫出“雞兔同籠”公式的時候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例7、例9和例10三個問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.
                  　　
例7，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是（680-8×40）÷（8+4）=30（張）.

例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

例10，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.
                  　　
首先，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢？當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.

例11
有一輛貨車運輸2000只玻璃瓶，運費按到達(dá)時完好的瓶子數(shù)目計算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運費379.6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？

解：如果沒有破損，運費應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.
答：這次搬運中破損了17只玻璃瓶.
                  　　
請你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎？
                  　　
例12 有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？

解一：如果小明第一次測驗24題全對，得5×24=120（分）.那么第二次只做對30-24=6（題）得分是：8×6-2×（15-6）=30（分）. 兩次相差：120-30=90（分）.
      比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6（分），而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（題）.
因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)（全對）減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對：30-19=11（題）.
第一次得分：5×19-1×（24- 9）=90.
第二次得分：8×11-2×（15-11）=80.
答：第一次得90分，第二次得80分.
                  　　
解二：答對30題，也就是兩次共答錯
      24+15-30=9（題）.
第一次答錯一題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯一題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分）.
      如果答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答錯題數(shù)是：（6×9+10）÷（6+10）=4（題）?
      第一次答錯 9-4=5（題）.
      第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.
      第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.