騎驢找驢

一次師生座談會(huì)，老師看學(xué)生，人數(shù)一樣多，學(xué)生看老師，老師的人數(shù)是學(xué)生的3倍，問老師和學(xué)生各有多少人？
分析：
（方法一）
設(shè):老師= X ,    學(xué)生=Y;
老師看學(xué)生，人數(shù)一樣多(在看的老師不包括在內(nèi))即可以列為方程:X－1=Y；
學(xué)生看老師，老師的人數(shù)是學(xué)生的3倍（在看的學(xué)生不包括在內(nèi)）即可列為方程:
3×（Y－1）＝X；
所以:解得Y＝2，X＝3
分析：
（方法二）
3個(gè)老師，當(dāng)其中一位老師看學(xué)生的時(shí)候，把自己忽略了，2個(gè)學(xué)生。2個(gè)老師一樣多；2學(xué)生中的一個(gè)看老師的時(shí)候也是把自己給忽略了，所以就剩一個(gè)學(xué)生了，老師還是3個(gè)。

“湊比法”解題例談

在小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常常遇到這樣一類題目：已知兩個(gè)量的和（差），以及它們的某種關(guān)系，而這種關(guān)系又無法轉(zhuǎn)化成其中一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾（統(tǒng)一單位“1”），也無法求出這兩個(gè)量的比。因此，常規(guī)解法極為繁雜。若將其中的一個(gè)量增加（減少）一個(gè)特定數(shù)量后，則常很容易“湊”出它們的比，從而使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。
 
 生1999年第十五屆《迎春杯》決賽題）
　　 還多10個(gè)”得：
　　
　　  
　　從而知，師傅加工零件個(gè)數(shù)是3份，（徒弟加工零件個(gè)數(shù)+40個(gè)）是4份，也就是（師徒二人共加工零件個(gè)數(shù)+40個(gè)）（3+4=）7份，即（170+40）
弟加工零件個(gè)數(shù)為（170-90=）80（個(gè)）。
 11人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。這個(gè)班男、女生各多少人？
 
　　　　　
　　 
　　從而知，男生人數(shù)是3份，（44人-女生）是2份，也就是（男生-女生+44人）（3+2=）5份。又因“男生比女生多6人”，故（6+44）人是5
例3 甲桶油比乙桶油多3.6千克，如果從兩桶中各取出1千克后，甲
（1999年小奧預(yù)賽B卷）
 
　
　　
　　從而知，（甲桶油-1千克）是3份，（乙桶油-1千克）是2份，即（甲桶油-1千克）比（乙桶油-1千克）多（3-2）份，也就是甲桶油比乙桶油多（3-2）份，而甲桶油比乙桶油多3.6千克，因此，每份重為3.6÷（3-2）=3.6（千克），（甲桶油-1千克）為3.6×3=10.8（千克），甲桶原有油10.8+1=11.8（千克）。
例4 大小球共100個(gè)，取出大球的75％，取出小球的50％，則大小球共剩30個(gè)。問原有大小球各多少個(gè)？（見貴刊1998年第1、2期第22頁《注意求異思維訓(xùn)練》中的例1，這里用“湊比法”解較容易）
分析與解 依題意“取出大球的75％，取出小球的50％，則大小球共剩30個(gè)”得：
　　大球個(gè)數(shù)×（1-75％）+小球個(gè)數(shù)×（1-50％）=30
　　大球個(gè)數(shù)×25％=30-小球個(gè)數(shù)×50％
　　大球個(gè)數(shù)×25％=（60-小球個(gè)數(shù)）×50％即，大球個(gè)數(shù)∶（60-小球個(gè)數(shù)）=50％∶25％=2∶1
從而知，大球個(gè)數(shù)是2份，（60-小球個(gè)數(shù)）是1份，大球個(gè)數(shù)比（60-小球個(gè)數(shù)）多（2-1）份，即[大球個(gè)數(shù)-（60-小球個(gè)數(shù)）]為（2-1）份，也就是（大球個(gè)數(shù)+小球個(gè)數(shù)-60）為（2-1）份，又知大小球共100個(gè)，故（100-60）個(gè)為（2-1）份，又知大小球共100個(gè)，故（100-60）個(gè)為（2-1）份，即40個(gè)是1份。因此，大球個(gè)數(shù)有（40×2=）80（個(gè)），小球個(gè)數(shù)有（100-80=）20（個(gè)）。

巧分?jǐn)?shù)字和

題目 將1至9九個(gè)數(shù)字寫在一條紙帶上，如下圖：

　　將它剪成三段，每段上數(shù)字聯(lián)在一起算一個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)相加，使和能被77整除，那么中間一段的數(shù)是____。
　　這是1997年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽中的一道整除的問題。將紙帶剪成三段，要剪兩刀，共有28種不同的剪法，逐一去試，分別計(jì)算出結(jié)果，再去試除，這樣做太繁瑣，不可取。可以結(jié)合整除的有關(guān)知識(shí)，從這九個(gè)數(shù)字的數(shù)字和去考慮。
　　分析與解答 由于77=7×11，（7、11）=1，所以能被77整除的數(shù)，必能分別被7和11整除。
　　先考慮能被11整除。一個(gè)數(shù)若能被11整除，其奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差必能被11整除。對(duì)于這一性質(zhì)，可以得到這樣的推論：如果幾個(gè)加數(shù)的和能被11整除，那么這幾個(gè)加數(shù)所有奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差必能被11整除。
　　對(duì)于這條紙帶上的九個(gè)數(shù)字，不管怎樣剪，奇位數(shù)字和總大于偶位數(shù)字和。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=11×3，28-17=11，所以奇數(shù)、偶數(shù)的所有數(shù)字和分別是39和6或28和17。
　　（一）當(dāng)奇位數(shù)字之和是39，偶位數(shù)字之和是6時(shí)，因?yàn)?=1+2+3=5+1=4+2，只剪兩刀，使另外的6個(gè)或7個(gè)數(shù)字都在奇位上，這顯然是辦不到的。
　�。ǘ�）當(dāng)奇位數(shù)字之和是28，偶位數(shù)字之和是17時(shí)，因?yàn)?BR>　　???????????? （?）
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　�。�1）如果9、8、7、3、1在奇位上，無法使相鄰的三個(gè)數(shù)字4、5、6都在偶位上。
　�。�2）如果9、8、6、3、2在奇位上，無法使相鄰的兩個(gè)數(shù)字4、5都在偶位上。
　�。�3）如果9、8、6、4、1在奇位上，無法使相鄰的兩個(gè)
　�。�4）如果9、8、5、4、2在奇位上，無法使相鄰的兩個(gè)數(shù)字6、7都在偶位上。
　�。�5）如果9、7、6、5、1在奇位上，無法使相鄰的三個(gè)數(shù)字2、3、4都在偶位上。
　�。�6）如果9、7、6、4、2在奇位上，相鄰的兩個(gè)數(shù)字6、7都在奇位上，因此必在6、7之間剪一刀，另一刀的剪法有三種：

　　第一種剪法得到的三個(gè)數(shù)的和：12+3456+789=4257，4257÷7=608……1
　　第二種剪法得到的三個(gè)數(shù)的和：1234+56+789=2079，2079÷7=297，由此可知，剪后中間一段的數(shù)是56。
　　第三種剪法得到的三個(gè)數(shù)的和：123456+7+89=123552，123552÷7=17650……2。
　�。�7）如果9、7、5、4、3在奇位上，無法使相鄰的兩個(gè)數(shù)字1、2都在偶位上。

讓靜止的圖形動(dòng)起來

以靜變動(dòng)，讓靜止的圖形動(dòng)起來，這是一種動(dòng)態(tài)的思想方法，這種思想方法在求解幾何圖形面積時(shí)是常常用到的�，F(xiàn)舉例如下：
　　一、旋轉(zhuǎn)的思想方法
　　將所給圖形中的某一部分繞一個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定（或適當(dāng)）的角度，變?yōu)檩^明顯的簡(jiǎn)單而又直觀的圖形。
　　例1 如圖1中的兩個(gè)三角形都是正三角形，大三角形的面積是小三角形面積的多少倍？

　　分析與解 觀察圖1可見，只需將小三角形繞圓心旋轉(zhuǎn)60°，得到如圖2所示的圖形。小三角形將大三角形分別割成面積相等的四塊。因此大三角形的面積是小三角形面積的4倍。
　　例2 求圖3中陰影部分的面積。（π取3）（單位：厘米）
　
　　分析與解 觀察圖3發(fā)現(xiàn)，只要將圖中右邊的陰影部分繞圓心逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°就得到圖4所示的形狀。所求的陰影部分的面積就是大扇形的面積與空白部分（三角形）面積的差。即
　　
　　二、移動(dòng)的思想方法
　　1.點(diǎn)的移動(dòng)：將圖中的某一點(diǎn)看作一個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”沿直線移動(dòng)，使原來分著的空白部分合并在一起變成一個(gè)簡(jiǎn)單明了的圖形。
　　例3 如圖5，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是4厘米，圖中陰影部分面積是10平方厘米，求OD長(zhǎng)多少厘米？
　　分析與解 觀察圖5，把圖中的陰影部分看作兩個(gè)三角形（即△ABO和△CBO），將這兩個(gè)三角形中的A點(diǎn)和C點(diǎn)分別看作“動(dòng)點(diǎn)”平移到如圖6所示的A’點(diǎn)和C’點(diǎn)（等底等高，面積相等），等積變形為一個(gè)簡(jiǎn)單的三角形A’C’O。因?yàn)殛幱安糠置娣e是10平方厘米，A’C’的長(zhǎng)為4厘米，所以O(shè)B的長(zhǎng)度為（10×2÷4=）5（厘米），因此OD的長(zhǎng)度是（8-5=）3（厘米）。
　　2.面的移動(dòng)：將所給圖形中的某個(gè)圖形沿直線上下左右移動(dòng)，把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的圖形，使原來面積不等變成相等。

　　例4 有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之間互相疊合（如圖7），已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積為14，綠色面積是10，那么正方形盒子的面積是多少？

　　分析與解 根據(jù)題目的條件，觀察圖7，發(fā)現(xiàn)黃色正方形沿著正方形盒子的邊線慢慢向左平移，黃色紙片的小部分逐漸被紅色紙片所蓋沒，綠色紙片卻逐漸在增加，黃色紙片蓋住的部分就是綠色紙片增加的部分。直移到紅色與黃色兩紙片下上對(duì)齊。此時(shí)綠色紙片也暴露到了最大的程度（如圖8），而且黃色紙片與綠色紙片的面積是相等的。即黃色和綠色的面積都為（（10+14）÷2=）12。我們把留出的空白部分假設(shè)為白色，從圖中可看出，紅、黃兩紙片有一邊相同，綠、白兩紙片也有一邊相同，所以它們各自面積之比等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比。便有：
　　
　　因此，所求正方形盒子的面積為
　　20+12+12+7.2=51.2
　　三、翻折的思想方法
　　將所給圖形的某一部分以某一直線為對(duì)稱軸翻折，使原來復(fù)雜的圖形變?yōu)橹庇^圖形。
　　例5 如圖9，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8，寬是6，A和B是寬的中點(diǎn)，求長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積。
　　分析與解 觀察圖9，根據(jù)題目的條件可知直線AB將原大長(zhǎng)方形分成大小一樣的兩個(gè)小長(zhǎng)方形。只需把下面的小長(zhǎng)方形以直線AB為對(duì)稱軸向上翻折，就把下面長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分合并到如圖10所示的上面的長(zhǎng)方形中。我們知道陰影部分的面積就是小長(zhǎng)方形面積的一半，即所求陰影部分的面積為
　　8×（6÷2）÷2=12。
 
　　例6 在圖11中，圓的半徑為r，求陰影部分的面積。

　　分析與解 以圖11中的水平直徑作為對(duì)稱軸，將上半部分往下翻折，使陰影部分拼合成兩個(gè)三角形（如圖12）�？梢钥闯�，所求的陰影部分面積等于梯形面積與空白部分（即三角形面積）的差。所以
陰影部分面積=（2r+4r）×r÷2-2r×r÷2=2r2。

運(yùn)用“取中法”解題舉隅

根據(jù)題目特征，以中間一個(gè)數(shù)為突破口進(jìn)行解題，是一種常用的解題策略。運(yùn)用取中法解答課本中的思考題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能使解題思路簡(jiǎn)捷、達(dá)到事半功倍的效果�，F(xiàn)舉數(shù)列說明。
　　一、運(yùn)用取中法解答數(shù)值計(jì)算
　　對(duì)于由相近的一組數(shù)相加的計(jì)算題，解答時(shí)可選擇一個(gè)中間數(shù)作為計(jì)算基礎(chǔ)，通過“移多補(bǔ)少”變加為乘，能使計(jì)算簡(jiǎn)便。
　　例1 計(jì)算
　�。�4845+4847+4836+4838+4840+4839+4842）÷7
　　分析和解 例1括號(hào)內(nèi)是7個(gè)相近的數(shù)相加，按順序排列可知中間的數(shù)是4840，以4840為基數(shù)，可作如下計(jì)算：
　　原式=[4840×7+（5+7-4-2-1+2）]÷7=4841
　　二、運(yùn)用取中法解答整除問題
　　涉及整除問題的填數(shù)題，可根據(jù)填數(shù)的諸種可能性，先假設(shè)中間一個(gè)數(shù)進(jìn)行試探，進(jìn)而再進(jìn)行調(diào)整，可使問題得到解決。
　　例2 如果六位數(shù)，1992□□能被95整除，那么，它的最后兩位數(shù)是_____。
　�。�1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽（B）卷第4題）
　　分析和解最后兩位數(shù)只能是“00”到“99”一百個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，先假設(shè)這兩位數(shù)是中間數(shù)50。那么，199250 ÷95=2097……35，顯然，假設(shè)偏大35，故從199250中減去35所得的差能被95整除。即：199250-35=199215，所以，它的最后兩位數(shù)是“15”。
　　三、運(yùn)用取中法解答估算問題
　　在小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常出現(xiàn)這樣一類題，它不要求算式的精確值，只要求算式結(jié)果的整數(shù)部分。對(duì)這類題，解答時(shí)取中間一個(gè)數(shù)代換其它數(shù)進(jìn)行計(jì)算，先求出近似結(jié)果，再加以確定能較快地求出結(jié)果。
　　
　　分析和解 觀察可知，繁分?jǐn)?shù)中共有12個(gè)分母數(shù)字較大的分?jǐn)?shù)，按常規(guī)的通分方法顯然行不通。若取最大值和最小值來討論算式的取值范圍，也較
 
找出算式的整數(shù)部分。
　　
　　因此，S的整數(shù)部分是165。
　　四、運(yùn)用取中法巧填數(shù)字題
　　填數(shù)字是一種常見的數(shù)學(xué)題型，其填法多種多樣，但以中間數(shù)為突破口，通過分組試調(diào)，得到的一種解法，過程簡(jiǎn)捷、規(guī)律性強(qiáng)，便于操作，學(xué)生尤其是低年級(jí)學(xué)生易于接受。
　　例4 把1、3、5、7、9、11、13填進(jìn)7個(gè)空中，使每個(gè)圓圈里四個(gè)數(shù)字的和都相等。（九年義務(wù)教材第四冊(cè)88頁思考題）
 
　　分析和解 觀察題圖發(fā)現(xiàn)，圖中有一中心格，它是三圓交叉的公共格，此處所填的數(shù)三個(gè)圓圈都得用。因此，確定此格的數(shù)字至關(guān)重要，由于中間數(shù)7即是7個(gè)數(shù)的平均數(shù)（49÷7=）7，所以中心格應(yīng)填7，中間數(shù)把另6個(gè)數(shù)分成兩組，前面三個(gè)數(shù)為較小數(shù)，后三個(gè)數(shù)為較大數(shù)，將較小數(shù)1、3、5填入三個(gè)較小空中或填入三個(gè)較大的空中，再將三個(gè)較大數(shù)9、11、13與之搭配，采取較小數(shù)配較大數(shù)的方法試調(diào)。使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)的和都相等。這樣便得到如下兩解。
 

偶數(shù)題詳解加法與減法

【內(nèi)容概述】
各種加法和減法的速算與巧算方法，如湊整，運(yùn)算順序的改變，數(shù)的組合與分解，利用基準(zhǔn)數(shù)等。
【例題分析】
1．計(jì)算：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
分析1：通過仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)前面一個(gè)數(shù)都比后面一個(gè)數(shù)大10，因此可以設(shè)一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)。
詳解：我們不妨設(shè)1986為基準(zhǔn)數(shù)。
1966＋1976＋1986＋1996＋2006
=（1986-20）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20）
=1986*5
=9930
評(píng)注：通過仔細(xì)觀察題目后，通常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。找到規(guī)律，就能輕而一舉的解決問題。
分析2：等差數(shù)列的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，中間數(shù)是它們的平均數(shù)
詳解：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
＝1986×5
＝9930
2．計(jì)算：123＋234＋345－456＋567－678＋789－890
答案：34
分析：這些數(shù)粗略一看好象是雜亂無章，其實(shí)不然。通過對(duì)各位數(shù)的觀察，
詳解：
先看個(gè)位：3+4+5-6+7-8+9-0=14
再看十位：2+3+4-5+6-7+8-9=2 但是注意個(gè)位的進(jìn)位：2+1=3（1是個(gè)位進(jìn)位來的）
最后看百位：1+2+3-4+5-6+7-8=0
這樣：我們就得到了34這個(gè)數(shù)
評(píng)注：做這種有技巧的計(jì)算時(shí)，要先通過觀察，找到規(guī)律后再逐一化簡(jiǎn)。把它變成一道很容易且學(xué)過的題。就像這道題一樣，本來是3位數(shù)加減法，而我們把它變成了一位數(shù)加減法。但需要注意的是：千萬不能忘了前一位的進(jìn)位。
3．計(jì)算：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）
答案：20000
分析：這個(gè)題目一眼看去沒有辦法簡(jiǎn)單運(yùn)算，但如果把括號(hào)內(nèi)得數(shù)算出，便發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律。
詳解：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）
=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996
=6472+5319+9354+6839-1996*4
=6472+5319+9354+6839-7984
=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）
=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）
=（6472+5319+6839）+1300+70
=18630+1370
=20000
評(píng)注：在一道簡(jiǎn)算的大題中，有可能有好幾個(gè)地方可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，一些技巧性的題目，簡(jiǎn)算會(huì)在過程中體現(xiàn)出來，而不讓你一眼看出，大家要在解題過程中找出簡(jiǎn)算步驟，這就需加強(qiáng)練習(xí)，方可得心應(yīng)手。
4．（1）在加法算式中，如果一個(gè)加數(shù)增加50，另一個(gè)加數(shù)減少20，計(jì)算和的增加或減少量？
答案：增加30
分析：此題并非很難，只是初學(xué)者會(huì)認(rèn)為缺少條件。其實(shí)這與兩個(gè)加數(shù)與和的本身值是無關(guān)的。因?yàn)橛?jì)算的只是“和的增加或減少量”。
詳解：如果我們用“A”來代替一個(gè)加數(shù)，B代表另一個(gè)加數(shù)，（A+B）代表和
（A+50）+（B-20）
=（A+B）+30
評(píng)注：某些題目的某些條件并不是我們所需知的，用字母或符號(hào)代表這些不需知的未知數(shù)是我們必須學(xué)會(huì)的技巧。
（2）在加法算式中，如果被減數(shù)增加50，差減少20，那么減數(shù)如何變化？
答案：增加70
分析：與上題一樣。其實(shí)減數(shù)變化與被減數(shù)、減數(shù)和差的本身值是無關(guān)的。
詳解：我們用“A”來代表被減數(shù)，B代表減數(shù)，（A-B）代表差
減數(shù)=被減數(shù)-差
=（A+50）-[（A-B）-20]
=B+70
評(píng)注：用字母表示數(shù)的方法用在這里很合適。一些無需知的未知數(shù)在運(yùn)算過程中就會(huì)抵消，這樣會(huì)給計(jì)算帶來方便。