一、行程問題

　　行程問題包含相遇問題、追及問題和流水問題。

　　(1)相遇問題

　　相遇問題：相遇時(shí)間＝距離和÷速度和

　　甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了AB之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么：

　　AB之間的路程

　�。郊鬃叩穆烦蹋�乙走的路程

　　＝甲的速度×相遇時(shí)間＋乙的速度×相遇時(shí)間

　�。�(甲的速度＋乙的速度)×相遇時(shí)間

　�。剿俣群汀料嘤鰰r(shí)間

　　可見，“相遇問題”的核心是速度和問題。

　　(2)追及問題

　　有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他。這就產(chǎn)生了“追及問題”。實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人走的速度之差。如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間(追及時(shí)間)內(nèi)：

　　追及路程

　　＝甲走的路程－乙走的路程

　�。郊椎乃俣取磷芳皶r(shí)間－乙的速度×追及時(shí)間

　�。�(甲的速度－乙的速度)×追及時(shí)間

　�。剿俣炔睢磷芳皶r(shí)間

　　可見“追及問題”的核心是速度差的問題。

　　(3)流水問題

　　我們知道，船順?biāo)�航行時(shí)，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)，同時(shí)整個(gè)水面又按水的流動(dòng)速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)�航行的�?shí)際速度(簡稱順?biāo)�速�?就等于船速與水速的和，即

　　順?biāo)�速度＝船速＋水�?/P>

　　同理

　　逆水速度＝船速－水速

　　可推知

　　船速＝(順?biāo)�速度＋逆水速�?÷2

　　水速＝(順?biāo)�速度－逆水速�?÷2

　　公式總結(jié)：

　　①順?biāo)�船速＝船速＋水速�?/P>

　�、谀嫠�船速＝船速－水速；

　　③船速＝(順?biāo)�速度＋逆水速�?÷2；

　�、芩�速＝(順?biāo)�速度－逆水速�?÷2。

　　例題1.(2008年北京市(應(yīng)屆)第16題)

　　甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)行進(jìn)4公里，乙每小時(shí)行進(jìn)5公里，在甲出發(fā)的同時(shí)，他頭上方的一只蜜蜂也同時(shí)出發(fā)，朝乙飛去，遇到乙后，立即返回，再次遇到甲后，又向乙飛去，如此反復(fù)，直到甲乙兩人相遇，已知甲乙兩地相距18公里，蜜蜂每小時(shí)飛10公里，問蜜蜂在甲乙兩人相遇前飛了多少公里？(　　)

　　A.17.2  B.20.0 

　　C.19.6  D.21.3

　　【解析】本題考查行程問題，需要注意蜜蜂和人行進(jìn)路程、速度均不相同，但他們的行進(jìn)時(shí)間是相等的，所以可以先求出蜜蜂飛行的時(shí)間，即兩人從出發(fā)要相遇時(shí)經(jīng)過的時(shí)間，即18÷(4＋5)＝2小時(shí)，2×10＝20公里，此即為蜜蜂飛行的路程。故選B。

　　例題2.(2007年山東省第49題)

　　某學(xué)校操場的一條環(huán)形跑道長400米，甲練習(xí)長跑，平均每分鐘跑250米；乙練習(xí)自行車，平均每分鐘行550米，那么兩人同時(shí)同地同向而行，經(jīng)過x分鐘第一次相遇，若兩人同時(shí)同地反向而行，經(jīng)過y分鐘第一次相遇，則下列說法正確的是(　　)。

　　A.x－y＝1  B.y－x＝56

　　C.y－x＝1  D.x－y＝56

　　【解析】本題考查相遇問題。x＝400÷(550－250)＝43分鐘，y＝400÷(550＋250)＝12分鐘，所以x－y＝43－12＝56。故選D。

　　例題3.(2007年江蘇省(B類)第78題)

　　在村村通公路的社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，有兩個(gè)山村之間的公路都是上坡和下坡，沒有平坦路。農(nóng)車上坡的速度保持20千米/小時(shí)，下坡的速度保持30千米/小時(shí)，已知農(nóng)車在兩個(gè)山村之間往返一次，需要行駛4小時(shí)，問兩個(gè)山村之間的距離是多少千米？(　　)

　　A.45   B.48  

　　C.50  D.24

　　【解析】本題可以看作是水流問題，只是把順?biāo)�、逆水換成了上坡和下坡。距離＝時(shí)間×速度。設(shè)兩地距離為S，那么有S÷20＋S÷30＝4，解得S＝48。故選B。

　　例題4.(2007年黑龍江省(A類)第20題)

　　光每秒鐘可走3×105公里，從太陽系外距地球最近的一顆恒星上發(fā)出的光，需要4年時(shí)間才能到達(dá)地球，一年以3×107秒計(jì)算，求這顆恒星到地球的距離(　　)。

　　A.3.6×1012公里  B.3.6×1013公里

　　C.1.2×1012公里  D.1.2×1013公里

　　【解析】這是一道簡單的計(jì)算距離的試題。由距離＝時(shí)間×速度可知，3×105×3×107×4＝3.6×1013公里。故選B。

　　例題5.(2006年中央(一類)第39題)

　　A、B兩地以一條公路相連。甲車從A地，乙車從B地以不同的速度沿公路勻速率相向開出。兩車相遇后分別掉頭，并以對(duì)方的速率行進(jìn)。甲車返回A地后又一次掉頭以同樣的速率沿公路向B地開動(dòng)。最后甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B地。如果最開始時(shí)甲車的速率為x米/秒，則最開始時(shí)乙車的速率為(　　)。

　　A.4x米/秒      B.2x米/秒 

　　C.0.5x米/秒  D.無法判斷

　　【解析】本題可以利用相遇的公式來解決。畫一線段圖分析可很清楚發(fā)現(xiàn)在以慢車速度走完單程的情況下，以快車速度可以走完往返路程，由此可知乙車開始的速度為2x米/秒。故選B。

　　例題6.(2005年中央(一二類)第43題)

　　某船第一次順流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同河道中順流航行12千米，逆流航行7千米，結(jié)果兩次所用的時(shí)間相等。假設(shè)船本身速度及水流速度保持不變，則順?biāo)�船速與逆水船速之比是(　　)。

　　A.2.5∶1  B.3∶1 

　　C.3.5∶1  D.4∶1

　　【解析】設(shè)順?biāo)�速度為t1，逆水速度為t2。依題意可得21÷t1＋4÷t2＝12÷t1＋7÷t2，整理得21＋4(t1÷t2)＝12＋7(t1÷t2)，化簡得t1÷t2＝3。故選B。

　二、方陣問題

　　橫著排稱為行，豎著排稱為列。如行數(shù)與列數(shù)相等，則正好排成一個(gè)正方形，此圖形被稱為方陣(也被稱為乘方問題)。方陣各要素之間的關(guān)系：

　　(1)方陣總?cè)?物)數(shù)＝最外層每邊人(物)數(shù)的平方；

　　(2)方陣最外一層總?cè)?物)數(shù)比內(nèi)一層總?cè)?物)數(shù)多8(行數(shù)和列數(shù)分別大于2)；

　　(3)方陣最外層每邊人(物)數(shù)＝(方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4)＋1；

　　(4)方陣最外層總?cè)藬?shù)＝[最外層每邊人(物)數(shù)－1]×4；

　　(5)去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1。

　　例題1.(2007年浙江省第15題)

　　某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成了一個(gè)6行、8列的長方陣�，F(xiàn)在要求各行從左至右1,2,1,2,1,2,1,2報(bào)數(shù)，再各列從前到后1,2,3,1,2,3報(bào)數(shù)。問在兩次報(bào)數(shù)中，所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有(　　)。

　　A.18個(gè)  B.24個(gè) 

　　C.32個(gè)  D.36個(gè)

　　【解析】此題可畫出直觀圖進(jìn)行解答。當(dāng)從左至右報(bào)1時(shí)，從前至后報(bào)2的有8人，報(bào)3的也有8人，當(dāng)從左至右報(bào)2時(shí)，同理可得，從前至后報(bào)1的有8人，報(bào)3的也有8人，即所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有32人。故選C。

　　例題2.(2007年河南省第44題)

　　某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余100人；第二次比第一次每排增加3人，結(jié)果缺少29人，儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)為多少？(　　)

　　A.600  B.500 

　　C.450  D.400

　　【解析】本題考查方陣問題。設(shè)該儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)為x人，第一次每排有y人，則有y2＋100＝x(y＋3)2－29＝x；解得：x＝500y＝20。故選B。

　　例題3.(2007年黑龍江省(A類)第15題)

　　某學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人？(　　)

　　A.272  B.256 

　　C.225  D.240

　　【解析】本題考查方陣問題。方陣最外層每邊人數(shù)為60÷4＋1＝16，所以這個(gè)方陣共有162＝256人。故選B。