十一、分段計算

　　例題1.(2008年中央第53題)

　　為節(jié)約用水，某市決定用水收費實行超額超收，月標(biāo)準用水量以內(nèi)每噸2.5元，超過標(biāo)準的部分加倍收費。某用戶某月用水15噸，交水費62.5元。若該用戶下個月用水12噸，則應(yīng)交水費多少錢？(　　)

　　A.42.5元  B.47.5元 

　　C.50元  D.55元

　　【解析】本題考查分段計算問題。設(shè)月標(biāo)準用水量為x噸，可得：2.5x＋5×(15－x)＝62.5，解得x＝5，則12噸水應(yīng)繳2.5×5＋5×7＝47.5元。故選B。

　　例題2.(2006年中央(一類)第49題)

　　某原料供應(yīng)商對購買其原料的顧客實行如下優(yōu)惠措施：①一次購買金額不超過1萬元，不予優(yōu)惠；②一次購買金額超過1萬元，但不超過3萬元，給九折優(yōu)惠；③一次購買金額超過3萬元，其中3萬元以內(nèi)部分九折優(yōu)惠，超過3萬元部分八折優(yōu)惠。某廠因庫容原因，第一次在該供應(yīng)商處購買原料付款7 800元，第二次購買付款26 100元，如果他一次購買同樣數(shù)量的原料，可以少付(　　)。　

　　A.1 460元  B.1 540元 

　　C.3 780元  D.4 360元

　　【解析】第二次購買付款26 100元意味著不優(yōu)惠的情況下應(yīng)付26 100÷0.9＝29 000元，則一次購買同樣數(shù)量的原料共需費用29 000＋7 800＝36 800元，優(yōu)惠后的實際支付數(shù)為30 000×0.9＋6 800×0.8＝32 440元，則可少付(26 100＋7 800)－32 440＝1 460元。故選A。

　　例題3.(2006年中央(二類)第32題)

　　某市出租汽車的車費計算方式如下：路程在3公里以內(nèi)(含3公里)為8.00元；達到3公里后，每增加1公里收1.40元；達到8公里以后，每增加1公里收2.10元，增加不足1公里按四舍五入計算。某乘客乘坐該種出租車交了44.4元車費，則此乘客乘該出租車行駛的路程為(　　)。

　　A.22公里  B.24公里 

　　C.26公里  D.29公里

　　【解析】出租車開到8公里時，需支付8＋[(8－3)×1.40]＝15元，即剩余路程要支付44.4－15＝29.4元，四個選項分別還剩余14,16,18和21公里，只有A選項符合，其他選項均要為剩余路程支付超過30元的路費，應(yīng)排除。故選A。

　　十二、容斥原理問題

　　(1)兩個集合的容斥關(guān)系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B；

　　(2)三個集合的容斥關(guān)系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

　　例題1.(2008年中央第56題)

　　共有100個人參加某公司的招聘考試，考試的內(nèi)容共有5道題，1～5題分別有80人、92人、86人、78人和74人答對，答對3道和3道以上的人員能通過考試，請問至少有多少人能通過這次考試？(　　)

　　A.30  B.55 

　　C.70   D.74

　　【解析】本題可以用容斥原理來解。先求沒做對題目的數(shù)量是：20＋8＋14＋22＋26＝90，因為要求最少對3道的，且要使通過的人數(shù)盡可能多，則每個人盡可能多的答不對，即903＝30，所以通過的就是100－30＝70人。故選C。

　　例題2.(2007年中央第55題)

　　一名外國游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅館休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。期間，不下雨的天數(shù)是12天，他上午呆在旅館的天數(shù)為8天，下午呆在旅館的天數(shù)為12天，他在北京共呆了(　　)。

　　A.16天  B.20天 

　　C.22天  D.24天

　　【解析】設(shè)該外國游客在北京共呆了x天，則下雨的天數(shù)為(x－12)天，由于下雨天他全天都呆在屋里，所以他上、下午分別呆在旅館的天數(shù)減去下雨的天數(shù)為不下雨的天數(shù)，于是得[8－(x－12)]＋[12－(x－12)]＝12，解得x＝16。故選A。

　　例題3.(2006年中央(二類)第43題)

　　某工作組有12名外國人，其中6人會說英語，5人會說法語，5人會說西班牙語；

　　有3人既會說英語又會說法語，有2人既會說法語又會說西班牙語，有2人既會說西班牙語又會說英語；有1人這三種語言都會說。則只會說一種語言的人比一種語言都不會說的人多(　　)。

　　A.1人  B.2人

　　C.3人  D.5人

　　【解析】該類試題也可以簡單地用圖形表示。由右圖可知，只會說一種語言的人數(shù)為2＋2＋1＝5人，而一種語言都不會說的人數(shù)為12－(2＋2＋1＋1＋1＋1＋2)＝2人，5－2＝3人。故選C。

　　例題4.(2005年中央(一類)第45題)

　　對某單位的100名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有(　　)。

　　A.22人  B.28人 

　　C.30人  D.36人

　　【解析】依題意可知，減去所有喜歡看球賽和喜歡看戲劇的人剩下的就是只喜歡看電影的人，即100－(58＋38－18)＝22人。故選A。

　　例題5.(2007年浙江省第21題)

　　某代表團有756名成員，現(xiàn)要對A、B兩議案分別進行表決，且他們只能投贊成票或反對票。已知贊成A議案的有476人，贊成B議案的有294人，對A、B兩議案都反對的有169人，則贊成A議案且反對B議案的有(　　)。

　　A.293人  B.297人 

　　C.302人  D.306人

　　【解析】這是一個容斥原理問題。由于贊成B議案的有294人，那么反對B議案的則有756－294＝462人，贊成A議案反對B議案的則有462－169＝293人。故選A。

　　例題6.(2007年河南省第48題)

　　某外語班的30名學(xué)生中，有8人學(xué)習(xí)英語，12人學(xué)習(xí)日語，3人既學(xué)英語也學(xué)日語，問有多少人既不學(xué)英語又沒學(xué)日語？(　　)　

　　A.12  B.13

　　C.14  D.15

　　【解析】本題考查的容斥原理。最簡單的方法是畫圖，看圖可知既不學(xué)英語又沒學(xué)日語的人數(shù)為30－(8＋12－3)＝13。故選B。

　　例題7.(2007年廣東省第11題)

　　某校參加數(shù)學(xué)競賽的有120名男生，80名女生，參加語文的有120名女生，80名男生。已知該校總共有260名學(xué)生參加了競賽，其中有75名男生兩科都參加了，問只參加數(shù)學(xué)競賽而沒有參加語文的女生有多少人？(　　)

　　A.65人  B.60人 

　　C.45人  D.15人

　　【解析】同時參加兩種競賽的人數(shù)是(120＋80)×2－260＝140人，同時參加兩種競賽的女生人數(shù)為140－75＝65人，則只參加了數(shù)學(xué)而未參加語文競賽的女生有80－65＝15人。故選D。

　十三、排列、組合問題

　　所謂排列是指從n(n∈N＋)個不同元素中取出m(0＜m≤n，m∈N＋)個，然后按任意一種次序排成一列，稱為一個排列。兩個排列相同，不僅要求這兩個排列中的元素完全相同，而且各元素的先后順序也一樣。從n個不同元素中取出m個(0＜m≤n，m∈N＋)元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，我們把它記做Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(0＜m≤n，m∈N＋，n∈N＋)。

　　所謂組合是指從n(n∈N＋)個不同元素中取出m個(m≤n，m∈N＋)元素組成一組，不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。從n個不同元素中取出m個(m≤n)元素組成的所有的組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。記作Cmn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！(0＜m≤n，m∈N＋，n∈N＋)。

　　還需應(yīng)試者明確的是乘法與加法原理。

　　(1)乘法原理(分步計數(shù)原理)

　　一般地，如果完成一件事需要n個步驟，其中，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事一共有N＝m1m2…mn種不同的方法。

　　(2)加法原理(分類計數(shù)原理)

　　一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法，……，第k類方法中有mk種不同的做法，則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mk種不同的方法。