巧用年齡差求解

　　年齡問(wèn)題中不管涉及的是多少年前還是多少年后的年齡，唯一不變的是年齡差。所以用年齡差來(lái)做運(yùn)算過(guò)程中的基準(zhǔn)量便可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。如果能深刻理解年齡差的作用，在面對(duì)年齡問(wèn)題時(shí)，更可以瞬間找到切入點(diǎn)。如下題：

　　10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍，15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍。則現(xiàn)在吳昊的年齡是多少歲？（ ）

　　A.45 B.50 C.55 D.60

　　解析：由“15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍”可知，15年后，吳昊兒子的年齡即為2人的年齡差。那么10年前吳昊兒子的年齡為1÷（7－1）= 個(gè)年齡差，故10+15=25年，即為1－ = 個(gè)年齡差，年齡差為25÷ =30年。所以吳昊今年的年齡為30×2－15=45歲。在這道題中年齡差成了一個(gè)衡量年齡的基準(zhǔn)量，用它來(lái)代表各個(gè)人物各時(shí)期的年齡，不但簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程、不易出錯(cuò)，更使得題目容易理解。

　　10. 奇數(shù)和偶數(shù)

　　奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)；

　　偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)，這里要注意零也是整數(shù)。

　　性質(zhì)1：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)　　性質(zhì)2：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

　　性質(zhì)3：奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)　　性質(zhì)4：奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)　　性質(zhì)5：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)

　　例題1、10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和為85，在這10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)字之和為多少？

　　解析：奇數(shù)之和為85，總共有5項(xiàng)，那么中間哪個(gè)數(shù)就為17，可以知道這5個(gè)奇數(shù)為13，15，17，19，21；由次可知這10個(gè)數(shù)可能為12-21和13-22，由于要3的倍數(shù)的數(shù)字之和最大，那么只可以是12+15+18+21=66。

　例題2、書(shū)店有單價(jià)為10分，15分，25分，40分的四種賀年卡，小華花了幾張一元錢(qián)，正好買(mǎi)了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問(wèn)小華買(mǎi)賀年卡花去多少錢(qián)？

　　解析：設(shè)買(mǎi)的賀年卡分別為 張，用去 張1元的人民幣，依題意有 + =100 ，（ 為整數(shù)）即 顯然 具有相同的奇偶性，若同為偶數(shù)， 和 ， = 不是整數(shù)；若同為奇數(shù)， 和 。

　　11．公約數(shù)和公倍數(shù)

　主要考點(diǎn)：

　　最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不是很難，只要我們仔細(xì)的閱讀題，都可以做出來(lái)，這種題往往和日期（星期幾）問(wèn)題聯(lián)系在一起，所以我們也要學(xué)會(huì)求余。特別指出的是，它們是公考中考試的熱點(diǎn)，在考試中出現(xiàn)的概率很大。

　　最大公約數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù) 能被自然數(shù) 整除，則稱(chēng) 為 的約數(shù)，幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱(chēng)為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。

　　最小公倍數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù) 能被自然數(shù) 整除，則稱(chēng) 為 的倍數(shù)，幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于0的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　【經(jīng)典例題】

　　1、三位采購(gòu)員定期去某商店，小王每隔9天去一次，大劉每隔11天去一次，老楊每隔7天去一次，三熱年星期二第一次在商店相會(huì)，下次相會(huì)是星期幾？

　　A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四

　　解析：這道題不難，但要注意審題，看上去好象是9，11，7的最小公倍數(shù)問(wèn)題，但這里有個(gè)關(guān)鍵詞“每隔”，每隔9天，其實(shí)已過(guò)了10天，所以要求的是10，12，8的最小公倍數(shù)，它們的公倍數(shù)為120，120÷7=17余1，所以下一次相會(huì)是在星期三。

　　2、自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，除以9的余數(shù)為8，除以8的余數(shù)為7。如果100＜P＜1000，則這樣的P有幾個(gè)？

　　A．不存在 B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)

　　解析：P除以10的余數(shù)為9，那么P+1是10的倍數(shù)；

　　P除以9的余數(shù)為8，那么P+1是9的倍數(shù)；

　P除以8的余數(shù)為7，那么P+1是8的倍數(shù)；

　　所以，P+1是10，9，8的公倍數(shù)，10，9，8的最小公倍數(shù)為360，則在100到1000中這樣的P+1共有2個(gè)，及360，720。

　　12. 重復(fù)數(shù)字的因式分解

　　【主要考點(diǎn)】

　　核心提示：重復(fù)數(shù)字的因式分解在公考中是一個(gè)重要考點(diǎn)，這個(gè)考點(diǎn)是建立在數(shù)字構(gòu)造具有一定規(guī)律和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上的。

　　例如：2424=24×101，101101=101×1001，2230223=22302230/10=2230×10001/10=223×10001。這些在數(shù)字構(gòu)造上具有一定特點(diǎn)的數(shù)字都可以變換成因式相乘的形式。

　　【經(jīng)典例題】

　1．2002×20032003-2003×20022002=?

　　原式=2002×2003×10001-2003×2002×10001=0

　　2.9039030÷43043=?

　　原式=903×1001×10÷（43×1001）=210

　　3.37373737÷81818181=？

　　原式=（37×1010101）÷（81×1010101）=37/81

　　13.整體代換法

　　【主要考點(diǎn)】

　　這類(lèi)計(jì)算題先不要急于去計(jì)算出具體結(jié)果，先觀察所求的式子，盡量多的找出其中的同類(lèi)項(xiàng)，把同類(lèi)項(xiàng)做為一個(gè)整體參量計(jì)算，最后在計(jì)算具體結(jié)果，這樣便能省去不少計(jì)算量。

　　【經(jīng)典例題】

　　1． 為多少？

　　分析：這道題，如果我們直接算的話會(huì)很煩瑣，展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)太多，增加計(jì)算量，先觀察沒(méi)項(xiàng)的相同部分，可知為 ，令 = ，令分式 = ，這樣原式就簡(jiǎn)化為 ，這樣來(lái)計(jì)算就簡(jiǎn)便多了。

　　14.裂項(xiàng)相消法

　　【主要考點(diǎn)】

　　我們來(lái)看這樣一個(gè)式子

　　對(duì)于這樣一個(gè)式子 =，如果我們用一般方法來(lái)算，肯定是會(huì)很復(fù)雜，那么我們來(lái)觀察一下 ，它是不是可以寫(xiě)成 ，如果當(dāng)分母上的兩個(gè)數(shù)相差 時(shí)，也就是 ，我們來(lái)看 把它分成兩項(xiàng)（兩個(gè)分式）是不是可以寫(xiě)成 ，這就是我們的裂項(xiàng)法，分母上 和 兩項(xiàng)通分后我們?cè)趤?lái)觀察和 的區(qū)別。

　　【經(jīng)典例題】

　　1. =？

　　分析：原式= =1-

　　一般這個(gè)知識(shí)點(diǎn)還有這樣一個(gè)方式來(lái)考察：

　　=2000，這也是一個(gè)求和問(wèn)題。

　　15.錯(cuò)位相減法

　　【主要考點(diǎn)】

　　一般的，通項(xiàng)形如 × （其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列）的數(shù)列求和問(wèn)題，可以考慮采用錯(cuò)位相減法

　　【經(jīng)典例題】

　　1．求數(shù)列 前 項(xiàng)的和。

　　解析：由題知， 的通項(xiàng)是等差數(shù)列 的通項(xiàng)與等比數(shù)列 的通項(xiàng)之積。

　　設(shè)　　兩式相減得：（1- ） =　　得出：

　　16.放縮法

　　【主要考點(diǎn)】

　　放縮法所應(yīng)對(duì)的題主要是不等式的題，它是一種比較靈活的計(jì)算技巧，對(duì)算術(shù)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小，就能得到正確的答案。

　　放縮法所運(yùn)用到的一個(gè)定理，這個(gè)定理我們學(xué)過(guò)，就是我們高中時(shí)候?qū)W過(guò)的夾逼定理。

　夾逼定理：當(dāng)B≤A≤B時(shí)，那么A=B。

　　【經(jīng)典例題】

　　1.設(shè) 是正整數(shù)，求證： ≤ ≤1。

　　解析：令 =A，那么A≤ ；

　　A≥ ，故 ≤A≤1。

　17.利用項(xiàng)與項(xiàng)之間關(guān)系

　　【主要考點(diǎn)】

　　一般地，當(dāng)給出第 項(xiàng)和第 項(xiàng)之間的計(jì)算關(guān)系式時(shí)，我們通過(guò)對(duì)此關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，最后得到一個(gè)我們熟悉的新數(shù)列，然后再進(jìn)行求通項(xiàng)、求前 項(xiàng)的和等運(yùn)算。下面我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明。

　　【經(jīng)典例題】

　　1．一列數(shù)排成一排 ，滿足下面關(guān)系式 ，若 =1，則 =（）。

　A．1 B． C．2007 D．

　解析：由 可得： ，即 是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)為 =1，那么 ，故 。

　2．已知 對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)都成立，且 �！�則 =（）。

　解析：由 ，可知： ，故原式=2+2+2+2 +2=2×2008=4016。