�。ㄋ模┩�余與剩余問題 　　1.余數(shù)性質(zhì) 　　在整數(shù)的除法中，只有整除與不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時(shí)，就產(chǎn)生余數(shù)。 　　被除數(shù)（a）÷除數(shù)（b）=商（c）……余數(shù)（d），其中a、b、c均為整數(shù)，d為自然數(shù)。 　　其中，余數(shù)總是小于除數(shù)，即0≤d＜b。 　　例題6：山西行測(cè)真題 　　在一個(gè)除法算式里，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之和是319，已知商是21，余數(shù)是6，問被除數(shù)是多少？ 　　A．237B．258C．279D．290 　　【解析】在除法算式里，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，此題可以設(shè)除數(shù)為x，則被除數(shù)是21x+6。由題意可知，21x+6+x+21+6=319，解得x=13，則被除數(shù)為13×21+6=279，故正確答案是C。 　　2.同余 　　兩個(gè)整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a、b對(duì)于m同余。 　　例如：71除以6的余數(shù)是5，29除以6的余數(shù)也是5，則稱71與29對(duì)于6同余。 　　對(duì)于同一個(gè)除數(shù)m，兩個(gè)數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余，兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余，兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余。 　　例如：23除以5的余數(shù)是3，16除以5的余數(shù)是1 　　23+16=39，3+1=4，則39除以5的余數(shù)與4同余 　　23-16=7，3-1=2，則7除以5的余數(shù)與2同余 　　23×16=368，3×1=3，則368除以5的余數(shù)與3同余 　　3.剩余問題 　　在我國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”意思是，一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，問這個(gè)數(shù)最小是多少？這類問題在我國(guó)稱為“孫子問題”，也稱為剩余問題。 　　解剩余定理最常用的方法是代入排除法。 　　例題7： 　　有一個(gè)自然數(shù)“X”，除以3的余數(shù)是2，除以4的余數(shù)是3，問“X”除以12的余數(shù)是多少？ 　　A．1B．5C．9D．11 　　【解析】此題為剩余問題，可以直接采用代入排除法。設(shè)y為“X”除以12的商，則 　　若“X”除以12的余數(shù)是1，則X=12y+1=3×4y+1，其除以3的余數(shù)為1，排除A項(xiàng)； 　　若“X”除以12的余數(shù)是5，則X=12y+5=4×3y+4+1，其除以4的余數(shù)為1，排除B項(xiàng)； 　　若“X”除以12的余數(shù)是9，則X=12y+9=3×4y+3×3，能被3整除，排除C項(xiàng)； 　　若“X”除以12的余數(shù)是11，則X=12y+11，容易得出其滿足條件。 　　所以正確答案為D。 　　（五）自然數(shù)n次方尾數(shù)變化情況 　　在應(yīng)用尾數(shù)法時(shí)，考生應(yīng)該結(jié)合自然數(shù)n次方的尾數(shù)變化進(jìn)行解題。 　　一個(gè)自然數(shù)n次方的尾數(shù)等于它尾數(shù)n次方的尾數(shù)，因此我們只需要考慮0-9的n次方尾數(shù)變化規(guī)律即可。 　　0n的尾數(shù)始終是0 　　1n的尾數(shù)始終是1 　　2n的尾數(shù)以“2、4、8、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4 　　3n的尾數(shù)以“3、9、7、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4 　　4n的尾數(shù)以“4、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為2 　　5n的尾數(shù)始終是5 　　6n的尾數(shù)始終是6 　　7n的尾數(shù)以“7、9、3、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4 　　8n的尾數(shù)以“8、4、2、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4 　　9n的尾數(shù)以“9、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為2 　　例題8：山西行測(cè)真題 　　20082008+20092009的個(gè)位數(shù)是： 　　A．3B．5C．7D．9 　　【解析】易知20082008的尾數(shù)是由82008的尾數(shù)確定的，8n的尾數(shù)是以8、4、2、6這4個(gè)數(shù)為周期進(jìn)行變化，2008能整除4，82008的尾數(shù)就相當(dāng)于84的尾數(shù)，為6；20092009的尾數(shù)由92009的尾數(shù)確定，9n的尾數(shù)是以9、1這2個(gè)數(shù)為周期進(jìn)行變化的，可知92009的尾數(shù)為9。6+9=15，個(gè)位數(shù)為5。正確答案為B。 　　二、常用計(jì)算技巧 　　無論是單純的算術(shù)式子，還是文字型應(yīng)用題，一般來說，通過對(duì)題干的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確分析以后，最終都被轉(zhuǎn)化為對(duì)算式或者方程的處理和計(jì)算。因此，理解和掌握大量的計(jì)算技巧，對(duì)提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的解題速度至關(guān)重要。下面介紹幾種常用的計(jì)算技巧。 　�。ㄒ唬┪矓�(shù)法 　　尾數(shù)法是指在不直接計(jì)算算式各項(xiàng)值的情況下，只計(jì)算算式各項(xiàng)的尾數(shù)，得到結(jié)果的尾數(shù)，從而確定選項(xiàng)中符合條件的答案的方法。尾數(shù)法一般適用于加、減、乘（方）這三種情況的運(yùn)算。一般選項(xiàng)中四個(gè)數(shù)的尾數(shù)各不相同時(shí)，可以優(yōu)先考慮尾數(shù)法。 　　兩個(gè)數(shù)的尾數(shù)之和等于和的尾數(shù)，兩個(gè)數(shù)的尾數(shù)之差等于差的尾數(shù)，兩個(gè)數(shù)的尾數(shù)之積等于積的尾數(shù)。 　　尾數(shù)本質(zhì)上是原數(shù)除以10的余數(shù)，尾數(shù)法本質(zhì)上是同余的性質(zhì)。 　　特別提示：算式中如果出現(xiàn)除法，請(qǐng)不要使用尾數(shù)法。 　　例題1： 　　7643×2819-7644×2818的值是： 　　A.4825B.4673C.5016D.5238 　　【解析】此題直接計(jì)算的話計(jì)算量很大，考慮到算式本身是由減法和乘法組成，且選項(xiàng)中各項(xiàng)尾數(shù)均不相同，因此考慮采用尾數(shù)法。則所求結(jié)果的尾數(shù)應(yīng)該與3×9-4×8=-5相同，-5的尾數(shù)是5，只有A項(xiàng)符合。 　�。ǘ�）棄九法 　　與尾數(shù)法類似的方法還有“棄九法”。把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)（和是9，要減去9得0），這個(gè)數(shù)就叫做原數(shù)的棄九數(shù)，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，則146357的棄九數(shù)是8。當(dāng)尾數(shù)法不能使用的時(shí)候，可以考慮采用“棄九法”來得到答案。與尾數(shù)法類似，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之和等于和的棄九數(shù)，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之差等于差的棄九數(shù)，兩個(gè)數(shù)的棄九數(shù)之積等于積的棄九數(shù)。 　　棄九數(shù)本質(zhì)上是原數(shù)除以9的余數(shù)，棄九法本質(zhì)上也是同余的性質(zhì)。 　　特別提示：算式中如果出現(xiàn)除法，請(qǐng)同樣不要使用棄九法。 　　例題2： 　　11338×25593的值為： 　　A.290133434B.290173434C.290163434D.290153434 　　【解析】此題數(shù)據(jù)很大，直接計(jì)算相當(dāng)耗時(shí)；各項(xiàng)答案尾數(shù)相同，無法使用尾數(shù)法。此時(shí)可以考慮棄九法。 　　1+1+3+3+8=16，1+6=7，11338的棄九數(shù)為7； 　　2+5+5+9+3=24，2+4=6，25593的棄九數(shù)為6； 　　7×6=42，4+2=6，則答案的棄九數(shù)為6。 　　經(jīng)計(jì)算，只有選項(xiàng)B的棄九數(shù)是6。

【內(nèi)容導(dǎo)航】

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