三、分合思想--解決問題的兩條路線 　　分合思想是指從整體或者從局部來解決問題的數(shù)學(xué)思想，它包含“分”與“合”兩種思路，其中“分”是指從局部考查問題，然后從局部推出整體情況；“合”是指從整體考查問題，然后通過整體來涵蓋局部的情況。 　　例題2： 　　編一本書的書頁(yè)，用了270個(gè)數(shù)字（重復(fù)的也算，如頁(yè)碼115用了2個(gè)1和1個(gè)5，共3個(gè)數(shù)字），問這本書一共有多少頁(yè)？ 　　A.117B.126C.127D.189 　　【解析】分類標(biāo)準(zhǔn)是不同位數(shù)的頁(yè)碼，按一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)分類討論便于計(jì)算。 　　一位數(shù)1~9，共用9個(gè)數(shù)字。 　　二位數(shù)10~99，共用了90×2=180個(gè)數(shù)字。 　　還有270-9-180=81個(gè)數(shù)字，則三位數(shù)的頁(yè)碼共81÷3=27頁(yè)，故一共有99+27=126頁(yè)。 　　所以正確答案為B。 　　例題3： 　　整數(shù)15具有被它的十位上數(shù)字和個(gè)位上數(shù)字同時(shí)整除的性質(zhì)，則在11和50之間（不包括11和50本身）具有這種性質(zhì)的整數(shù)的個(gè)數(shù)有： 　　A.8個(gè)B.9個(gè)C.12個(gè)D.14個(gè) 　　【解析】滿足條件的整數(shù)能夠被十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字同時(shí)整除，而十位僅僅是1-4四個(gè)數(shù)，所以按十位分類討論比較方便。 　　十位數(shù)是1時(shí)，12、15符合條件； 　　十位數(shù)是2時(shí)，22、24符合條件； 　　十位數(shù)是3時(shí)，33、36符合條件； 　　十位數(shù)是4時(shí)，44、48符合條件。 　　依題意共有8個(gè)整數(shù)符合題意。 　　所以正確答案為A。 　�。ǘ�）分步討論 　　分步法最開始應(yīng)用于生產(chǎn)成本的計(jì)算，在一些復(fù)雜問題中，應(yīng)用分步法可以層層深入由表及里地解決問題。 　　分步法的思維模式有兩種，一種是遞進(jìn)式，一種是平行式。 　　1.遞進(jìn)式 　　遞進(jìn)式是指以題目敘述為方向?qū)訉油七M(jìn)，將一個(gè)復(fù)雜問題的解決分解為若干步驟逐步討論并匯總得出結(jié)論的模式。 　　2.平行式 　　平行式是指將問題分解為若干平行的問題分步解決，這些問題在一個(gè)大范疇下是互相影響并有一定的主次關(guān)系。 　　例題5： 　　用六位數(shù)字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用這種方法表示2009年的日期，則全年中六個(gè)數(shù)字都不相同的日期有多少天？ 　　A.12B.29C.0D.1 　　【解析】題目問的是有多少天，實(shí)際問的是不同的情況數(shù)，所以我們以分步分類的思想考慮。構(gòu)成題目要求的六位數(shù)是一個(gè)日期，而這個(gè)日期可分為三部分--年、月、日。其中年比月容易確定，月份比日期容易確定，所以以這個(gè)主次結(jié)構(gòu)分步討論。每一步分類的標(biāo)準(zhǔn)是六個(gè)數(shù)字各不相同，凡符合此條件的都將列入并逐步篩選。 　　年份09是確定的，直接討論符合要求的月份的數(shù)字。由于月份中的數(shù)字不能與年份中重復(fù)，那么1-10月都排除（均含0），由于11與自身重復(fù)，只能選擇12。在確定日期的時(shí)候由于不能與0、1、2重復(fù)，那么最小的日期為34號(hào)，這與實(shí)際不符，因此沒有符合題意的日期。 　　所以正確答案為C。 　　（三）整體討論 　　整體討論是在解題過程中不拘泥于局部的處理，而是根據(jù)數(shù)學(xué)題目自身結(jié)構(gòu)的特殊性，從整體的角度去觀察分析，靈活變換條件或結(jié)論，對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行處理的方法。 　　解部分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)用題時(shí)，往往需要從整體把握，忽略一些無關(guān)結(jié)果的細(xì)節(jié)，則能達(dá)到事半功倍的效果。 　　例題7： 　　一名外國(guó)游客到北京旅游。他要么上午出去游玩，下午在旅館休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在旅館里。期間，不下雨的天數(shù)是12天，他上午呆在旅館的天數(shù)為8天，下午呆在旅館的天數(shù)為12天，他在北京共呆了： 　　A.16天B.20天C.22天D.24天 　　【解析】本題信息比較單一，直接整體考慮游玩和在旅館的天數(shù)即可，無需討論下雨或者不下雨的情況。 　　不下雨的天數(shù)是12天，則有12個(gè)半天出去游玩。在旅館的天數(shù)為8+12=20個(gè)半天，故總天數(shù)為12+20=32個(gè)半天，即16天。所以正確答案為A。 　　例題8： 　　某校初一年級(jí)共三個(gè)班，一班與二班人數(shù)之和為98，一班與三班人數(shù)之和為106，二班與三班人數(shù)之和為108，則二班人數(shù)為： 　　A.48B.50C.58D.60 　　【解析】本題可以列三元一次方程組逐個(gè)求解，但比較繁瑣。若從整體考慮，二班人數(shù)等于全體人數(shù)減去一班與三班人數(shù)之和，利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系，可以快速求得結(jié)果。 　�。�98+106+108）÷2-106=50人。所以正確答案為B。

【內(nèi)容導(dǎo)航】

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