四、數(shù)形結(jié)合思想--數(shù)字與圖形的完美結(jié)合 　　數(shù)形結(jié)合是把數(shù)字或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，借助圖形來(lái)研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)思想。 　　數(shù)形結(jié)合的思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)和直觀來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。 　�。ㄒ唬﹫D解法 　　圖解法是通過(guò)畫(huà)圖來(lái)區(qū)分復(fù)雜的數(shù)量，理清數(shù)量之間關(guān)系的方法。將題干文字及數(shù)量關(guān)系用圖表示出來(lái)，能夠提高解題速度和正確度。常用的方法是畫(huà)線段圖、文氏圖等。 　　例題1： 　　甲從某地出發(fā)勻速前進(jìn)，一段時(shí)間后，乙從同一地點(diǎn)以同樣的速度同向前進(jìn)，在K時(shí)刻乙距起點(diǎn)30米；他們繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)乙走到甲在K時(shí)刻的位置時(shí)，甲離起點(diǎn)108米。此時(shí)乙離起點(diǎn)： 　　A.39米B.69米C.78米D.138米 　　【解析】在解行程問(wèn)題時(shí)，通常先畫(huà)出線段圖，這樣可以直觀清晰地看到狀態(tài)變化的過(guò)程和各個(gè)量之間的關(guān)系，幫助我們準(zhǔn)確求解。 　　根據(jù)題意可畫(huà)出下圖： 　　如圖所示，在K時(shí)刻，甲和乙分別在A、B兩點(diǎn)，且相隔距離為a，他們繼續(xù)前進(jìn)，由題意乙從B點(diǎn)前進(jìn)到A點(diǎn)，同時(shí)甲從A點(diǎn)前進(jìn)到C點(diǎn)，兩人以相同的速度勻速前進(jìn)，那么A、C兩點(diǎn)之間的距離也為a，則a=（108-30）÷2=39米，即甲、乙之間的距離為39米，故此時(shí)乙離起點(diǎn)30+39=69米。 　　所以正確答案為B。 　　例題2： 　　某工作組有12名外國(guó)人，其中6人會(huì)說(shuō)英語(yǔ)，5人會(huì)說(shuō)法語(yǔ)，5人會(huì)說(shuō)西班牙語(yǔ)；有3人既會(huì)說(shuō)英語(yǔ)又會(huì)說(shuō)法語(yǔ)，有2人既會(huì)說(shuō)法語(yǔ)又會(huì)說(shuō)西班牙語(yǔ)，有2人既會(huì)說(shuō)西班牙語(yǔ)又會(huì)說(shuō)英語(yǔ)；有1人這三種語(yǔ)言都會(huì)說(shuō)。則只會(huì)說(shuō)一種語(yǔ)言的人比一種語(yǔ)言都不會(huì)說(shuō)的人多： 　　A.1人B.2人C.3人D.5人 　　【解析】此題考查容斥原理。解此類(lèi)題可應(yīng)用畫(huà)文氏圖法，文氏圖是用封閉曲線（內(nèi)部區(qū)域）表示集合及其關(guān)系的圖形。文氏圖法具有直觀性、便捷性和可行性，是解容斥問(wèn)題的首選方法。 　　根據(jù)題意將所給的條件填入相應(yīng)的集合中，可得下圖： 　　由圖可以看出，只會(huì)說(shuō)一種語(yǔ)言的人有2+1+2=5人，一種語(yǔ)言都不會(huì)說(shuō)的有2人，故所求為5－2＝3人。所以正確答案為C。 　　例題3： 　　A、B、C、D四支球隊(duì)開(kāi)展籃球比賽，每?jī)蓚�(gè)隊(duì)之間都要比賽1場(chǎng)，已知A隊(duì)已比賽了3場(chǎng)，B隊(duì)已比賽了2場(chǎng)，C隊(duì)已比賽了1場(chǎng)，D隊(duì)已比賽了幾場(chǎng)？ 　　A.3B.2C.1D.0 　　【解析】這道題數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，涉及A、B、C、D四支球隊(duì)的比賽場(chǎng)數(shù)，為使球隊(duì)之間的關(guān)系直觀明了，可以嘗試畫(huà)圖來(lái)解決。用四個(gè)點(diǎn)分別表示參加比賽的四支球隊(duì)，用線段將代表已進(jìn)行比賽的兩支球隊(duì)的點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。 　　如下圖所示， 　　A隊(duì)已比賽3場(chǎng)，則A與其他三點(diǎn)間都有線段連結(jié)； 　　C隊(duì)已比賽1場(chǎng)，則C只與A連結(jié)； 　　B隊(duì)已比賽2場(chǎng)，則B與A、D分別連結(jié)； 　　由此圖可以直接看出，D隊(duì)分別與A隊(duì)和B隊(duì)各進(jìn)行一場(chǎng)比賽。 　　所以正確答案為B。 　　注：如果每?jī)蓚�(gè)隊(duì)之間都賽了1場(chǎng)，則每個(gè)隊(duì)都要賽3場(chǎng)。題中B、C兩隊(duì)均未賽滿(mǎn)，故比賽沒(méi)有全部進(jìn)行，不能直接利用排列組合知識(shí)計(jì)算。 　�。ǘ�）表格法 　　表格是一種特殊的圖形，有些數(shù)學(xué)題目，可以通過(guò)表格使其直觀化，從而體現(xiàn)表格的工具性和數(shù)學(xué)的適用性，還能起到事半功倍的效果。用表格法分析題中的數(shù)量關(guān)系與圖解法一樣，是分析的一種手段。能用表格法分析的應(yīng)用題，同樣也可以借助其他工具分析。 　　例題5： 　　某工程隊(duì)承擔(dān)了A、B兩個(gè)工程任務(wù)，A工程的工作是B工程的兩倍，施工過(guò)程如下：第一階段15天，全體人員投入到A工程中，完成了A工程的部分工作量；第二階段20天，一半人員投入到A工程中，一半人員投入到B工程中，完成了A工程的剩余工作量和B工程的部分工作量；第三階段10天，10個(gè)人投入到B工程中，完成了B工程的剩余工程量，每個(gè)人的工作效率相等，該工程隊(duì)共有多少人？ 　　A.64B.58C.48D.40 　　【解析】這是一道比較復(fù)雜的工程問(wèn)題，使用表格法能清晰地列出各數(shù)量之間的關(guān)系。 　　由于A工程的工作是B工程的兩倍，為方便計(jì)算，可設(shè)A工程與B工程的工作量分別為10和5。 　　第一階段15天，全體人員投入到A工程中，第二階段20天，一半人員投入到A工程中，完成了A工程，可以推出第一階段與第二階段完成A工程的工作量之比為3∶2，即分別為6和4。 　　由題意可知，第二階段B工程與A工程的工作量相等，也為4，那么第三階段B工程的工作量為5-4=1。如下表所示： 　�。ㄒ唬┓匠谭� 　　方程法是把未知量設(shè)為字母（比如x），然后把字母（比如x）作為已知量參與計(jì)算，最終得到等式的方法。 　　方程法的思維方式與其他算術(shù)解法的思維方式不同，它不需要從已知到已知和從已知到未知等多層次的分析，它只需要找出等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系按順序列出方程即可。 　　方程法的主要流程為： 　　例題1： 　　一商品的進(jìn)價(jià)比上月低了5%，但超市仍按上月售價(jià)銷(xiāo)售，其利潤(rùn)率提高了6個(gè)百分點(diǎn)，則超市上月銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)率為： 　　A．12%B．13%C．14%D．15% 　　【解析】本題為典型的利潤(rùn)問(wèn)題，但是沒(méi)有太多詳細(xì)的數(shù)據(jù)，即不容易直接找到已知數(shù)據(jù)間的關(guān)系，因此直接用方程法求解比較簡(jiǎn)潔。 　　設(shè)未知量：設(shè)上個(gè)月的利潤(rùn)率為x，則這個(gè)月的利潤(rùn)率為x+6%。 　　找出等量關(guān)系：兩個(gè)月的售價(jià)是一樣的。 　　列出方程：不妨設(shè)上個(gè)月商品進(jìn)價(jià)是1，則這個(gè)月商品進(jìn)價(jià)是0.95， 　　1×（1+x）=0.95×（1+x+6%） 　　解出方程：x=14%。 　　所以正確答案為C。 　　例題2： 　　商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上運(yùn)行，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在運(yùn)行的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯級(jí)有： 　　A.80級(jí)B.100級(jí)C.120級(jí)D.140級(jí) 　　【解析】本題類(lèi)似于流水問(wèn)題，每個(gè)人的實(shí)際速度等于人靜止時(shí)的速度加上扶梯速度。根據(jù)兩個(gè)人所走的樓梯數(shù)相等這一等量關(guān)系可以列出方程。 　　設(shè)扶梯每秒走x級(jí)，則40（2+x）=50（■+x），解得x=0.5,總的扶梯有40×（2+0.5）=100級(jí)。所以正確答案為B。 　　（二）不等式法 　　不等式屬于方程的衍生，方程由“=”來(lái)連接兩個(gè)等價(jià)的解析式，而不等式則是由“>”或“<”等不等號(hào)連接兩個(gè)解析式。公務(wù)員考試中主要通過(guò)均值不等式的性質(zhì)來(lái)解決最值相關(guān)問(wèn)題。 　　例題3：湖北行測(cè)真題 　　建造一個(gè)容積為16立方米，深為4米的立方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米160元和每平方米100元，那么該水池的最低造價(jià)是多少元？ 　　A．3980 B.3560 C.3270 D.3840 　　【解析】池底的面積是固定的，而池壁的面積跟水池底面的長(zhǎng)、寬有關(guān)，造價(jià)與底面積和池壁面積有關(guān)，因此可以列出造價(jià)和底面長(zhǎng)、寬的關(guān)系函數(shù)，然后根據(jù)均值不等式求出答案。 　　設(shè)水池底面長(zhǎng)為x米，寬為y米，則xy=16÷4=4平方米，池壁面積為4×2×（x+y）=8（x+y）平方米，則總造價(jià)z=4×160+100×8（x+y）=800（x+y）+640≥800×2■+640=3840元，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)等號(hào)成立。所以正確答案為D。

【內(nèi)容導(dǎo)航】

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